关于示踪剂实验

本实验是在由砂组成的柱或岩心中注入一定浓度的非活性物质的流体。流体的注入可以是脉冲形式，也可以是连续注入。这种类型的实验对于表征地下的静态和动态特性非常有用，可以帮助我们更好地了解流体的地质和流动动力学。

已知信息

在这种类型的实验中，我们通常知道示踪剂通过列的速度，例如$v$，列的长度$L$，示踪剂注入浓度$C_0$，列出口流体浓度的时间序列$C$ $\text{vs。}$ $t$，作为本实验的输出数据。

1. 在实验室规模下，哪些方程通常用于表征多孔介质中非活性示踪剂的流动?
2. 我们如何使用已知信息来估计流体分散系数(流体速度方差的测量)?<李> / < / ol >

控制方程

非反应性示踪剂试验的构成方程受平流(粘性流动)引起的流体流动和扩散引起的流体流动的控制。控制这个过程的偏微分方程如下:$$\frac{\partial C}{\partial t} + \nabla。\left(v C - D\nabla{C} \right)=0$$其中，$C$为示踪器在空间中的浓度$(x,y,z)$和时间$t$;$v$为注入示踪液的速度，$D$为色散系数。一维例子

让我们考虑以下一维核，其中示踪剂在左侧面(点B)注入作为重侧单位阶跃函数。在右侧面(点A)观察输出示光浓度剖面:

< A href="https://i.stack.imgur.com/LEL3O.png" rel="nofollow noreferrer">

此一般场景的边界条件如下:

$$\overline C_B=0, x>0, t=0$$ $$\overline C_B=1, x=0，t>=0$$< span class="math-container">$$\overline C_B=0, x\rightarrow\infty, t>=0$$

现在，对于这个一维例子，存在一个解析解，可以为您提供列内任何位置的示踪浓度，例如$x$，在任何时候，例如$t$。$C(x,t)$使用以下解析解:$$\overline C_B=\frac{1}{2}\left[1-{erf}\left(\frac{x-vt}{2\sqrt{Dt}}\right)\right]$$

其中，$v$为已知流体速度，$D$为未知流体分散系数。

如何估计分散系数

我们从示踪剂实验中获得的数据之一是示踪剂在柱输出处(A点)的浓度随时间的变化，也称为出水浓度。我们将此数据称为$C_{measured}$。类似地，使用上面的分析函数，我们可以通过猜测分散系数$D$的某个值来估计示踪剂流出浓度(在$x=L$)。 However, since this $D$ is just a guess, so the estimated effluent concentration using the formula is not correct. The correct effluent concentration is the one we have measured i.e .$C_{measured}$. You would have guessed by now that we use the measured concentration in the analytical expression to estimate $D$, and the appropriate way of doing this is by devising an objective function and minimizing its square as follow:

$$f_{obj}=min\left[\sum (C_{measured}-C_{calculated})^2\right]$$

So you find $C_{calculated}$ using multiple guesses of $D$ and stop the iteration for that particular $D$ which gives you minimum $f_{obj}$