我目前使用GGM05C斯托克斯系数重建地球的引力势的梯度。

我发现梯度在球坐标表示的表达式这个由ICGEM技术报告。特别是,方程122页23显示了重力势的偏导数W美元关于这三个球坐标参数r美元(距离中心),\λ美元(经度)和\ varphi美元(地心纬度)。

这些方程涉及相关的勒让德函数的使用美元P_ {lm} $纬度的函数\ varphi美元。我理解,当执行偏导数与尊重r美元,\ varphi美元和\λ美元,勒让德函数保持不变的衍生品与尊重r美元和\λ美元,因为勒让德函数不是的函数r美元或\λ美元。然而,由于他们是一个纬度的函数\ varphi美元,当我们计算$ \ dfrac{\部分W}{\部分\ varphi} $,我们需要得到相关的勒让德函数,获得以下表达式,表示122年方程的相关文档:

$ $ \ dfrac{\部分W}{\部分\ varphi} = \压裂{通用}{r} \ sum_ {\ mathscr {l} = 0} ^ {\ mathscr {l} _{马克斯}}\离开(\压裂{r} {r} \右)^ \ mathscr {l} \ sum_ {m = 0} ^ {\ mathscr {l}} \ dfrac{\部分P_ {\ mathscr {l} m}(罪\ \ varphi)}{\部分\ varphi} \离开(C_ {\ mathscr {l} m} ^海关组织(m \λ)+ S_ {\ mathscr {l} m} ^ Wsin (m \λ)\右)$ $

然而,链式法则后,不应该还包括导数的乘法因为\ \ varphi美元,因为这是的导数罪\ \ varphi美元嵌套在$ P_ {\ mathscr {l} m}(罪\ \ varphi)美元吗?