答案通过@IsopycnalOscillation解释了一些影响使用显式和隐式方案和应用一个是优先于另一个。在这里,我描述这两种方法实际上是如何工作的,如何隐格式使用的知识后的状态。

常微分方程:

$ $ \ dfrac{\偏u}{\部分t} = f (u, t) $ $

为简单起见,我们f (u, t) =铜美元,在那里美元加元是一个积极的常数和u = u (t)美元。方程是:

$ $ \ dfrac{\偏u}{\部分t} =铜$ $

通常称为线性阻力方程。

同样,为了简单起见,我们考虑最简单的两个方案,一阶欧拉向前差分(显式),和一个一阶欧拉向后差分(隐)。如你所知,向前欧拉差分yieds:

$ $ u_ {n + 1} =δtu_ u_n-c \ {n} = u_n (1 - c \δt) $ $

显式的调用此方法,因为未来状态评估功能的现状。冯·诺依曼的稳定方法,生长因子的定义是:

$ $ \λ= \ dfrac {u_ {n + 1}} {u_n} = 1 - c \δt $ $

该计划时是稳定的| \λ| < 1美元中性的,| \λ| = 1美元,不稳定$ | \λ| > 1美元。我们看到,欧拉方法应用于线性阻力方程可能是不稳定的。

隐式欧拉向后差分,我们有:

$ $ u_ {n + 1} = u_n-c \δt u_ {n + 1} $ $

方面让我们重新安排:

$ $ u_ {n + 1} = \ dfrac {u_n} {1 + c \δt} $ $

请注意,$ u_ {n + 1} $没有找到右边了。在这里,生长因子是:

$ $ \λ= \ dfrac {1} {1 + c \δt} $ $

我们看到,在这种情况下,| \λ| < 1美元适用于任何的价值美元加元和$ \δt $。

因此,如果一个是担心稳定,便于求解这个方程隐式方法。然而,请注意,更需要大量计算能力的隐式方法,甚至在这个简单的例子中,因为一个部门比乘法更昂贵的操作。特别是在更大、更复杂的系统的方程f (u, t)美元可能是一个大的矩阵,需要倒。

一个好的介绍性文本这些方法和在大气和海洋应用程序建模可以在这里找到:情况下,荒川:数值方法应用于大气模型(1976)。更多的引用,看到答案这个问题。

答案通过@IsopycnalOscillation解释了一些影响使用显式和隐式方案和应用一个是优先于另一个。在这里,我描述这两种方法实际上是如何工作的,如何隐格式使用的知识后的状态。

常微分方程:

$ $ \ dfrac{\偏u}{\部分t} = f (u, t) $ $

为简单起见,我们f (u, t) =铜美元,在那里美元加元是一个积极的常数和u = u (t)美元。方程是:

$ $ \ dfrac{\偏u}{\部分t} =铜$ $

通常称为线性阻力方程。

同样,为了简单起见,我们考虑最简单的两个方案,一阶欧拉向前差分(显式),和一个一阶欧拉向后差分(隐)。如你所知,向前欧拉差分yieds:

$ $ u_ {n + 1} =δtu_ u_n-c \ {n} = u_n (1 - c \δt) $ $

显式的调用此方法,因为未来状态评估功能的现状。冯·诺依曼的稳定方法,生长因子的定义是:

$ $ \λ= \ dfrac {u_ {n + 1}} {u_n} = 1 - c \δt $ $

该计划时是稳定的| \λ| < 1美元中性的,| \λ| = 1美元,不稳定$ | \λ| > 1美元。我们看到,欧拉方法应用于线性阻力方程可能是不稳定的。

隐式欧拉向后差分,我们有:

$ $ u_ {n + 1} = u_n-c \δt u_ {n + 1} $ $

方面让我们重新安排:

$ $ u_ {n + 1} = \ dfrac {u_n} {1 + c \δt} $ $

请注意,$ u_ {n + 1} $没有找到右边了。在这里,生长因子是:

$ $ \λ= \ dfrac {1} {1 + c \δt} $ $

我们看到,在这种情况下,| \λ| < 1美元适用于任何的价值美元加元和$ \δt $。

因此,如果一个是担心稳定,便于求解这个方程隐式方法。然而,请注意,更需要大量计算能力的隐式方法,甚至在这个简单的例子中,因为一个部门比乘法更昂贵的操作。特别是在更大、更复杂的系统的方程f (u, t)美元可能是一个大的矩阵,需要倒。

一个好的介绍性文本这些方法和在大气和海洋应用程序建模可以在这里找到:情况下,荒川:数值方法应用于大气模型(1976)。更多的引用,看到答案这个问题。

答案通过@IsopycnalOscillation解释了一些影响使用显式和隐式方案和应用一个是优先于另一个。在这里,我描述这两种方法实际上是如何工作的,如何隐格式使用的知识后的状态。

常微分方程:

$ $ \ dfrac{\偏u}{\部分t} = f (u, t) $ $

为简单起见,我们f (u, t) =铜美元,在那里美元加元是一个积极的常数和u = u (t)美元。方程是:

$ $ \ dfrac{\偏u}{\部分t} =铜$ $

通常称为线性阻力方程。

同样,为了简单起见,我们考虑最简单的两个方案,一阶欧拉向前差分(显式),和一个一阶欧拉向后差分(隐)。如你所知,向前欧拉差分yieds:

$ $ u_ {n + 1} =δtu_ u_n-c \ {n} = u_n (1 - c \δt) $ $

显式的调用此方法,因为未来状态评估功能的现状。冯·诺依曼的稳定方法,生长因子的定义是:

$ $ \λ= \ dfrac {u_ {n + 1}} {u_n} = 1 - c \δt $ $

的方案是稳定的,当| \λ| < 1美元中性的,| \λ| = 1美元,不稳定| \λ| = 1美元。我们看到,欧拉方法应用于线性阻力方程可能是不稳定的。

隐式欧拉向后差分,我们有:

$ $ u_ {n + 1} = u_n-c \δt u_ {n + 1} $ $

方面让我们重新安排:

$ $ u_ {n + 1} = \ dfrac {u_n} {1 + c \δt} $ $

请注意,$ u_ {n + 1} $没有找到右边了。在这里,生长因子是:

$ $ \λ= \ dfrac {1} {1 + c \δt} $ $

我们看到,在这种情况下,| \λ| < 1美元适用于任何的价值美元加元和$ \δt $。

因此,如果一个是担心稳定,便于求解这个方程隐式方法。然而,请注意,更需要大量计算能力的隐式方法,甚至在这个简单的例子中,因为一个部门比乘法更昂贵的操作。特别是在更大、更复杂的系统的方程f (u, t)美元可能是一个大的矩阵,需要倒。

一个好的介绍性文本这些方法和在大气和海洋应用程序建模可以在这里找到:情况下,荒川:数值方法应用于大气模型(1976)。更多的引用,看到答案这个问题。

答案通过@IsopycnalOscillation解释了一些影响使用显式和隐式方案和应用一个是优先于另一个。在这里,我描述这两种方法实际上是如何工作的,如何隐格式使用的知识后的状态。

常微分方程:

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$ $ \ dfrac{\偏u}{\部分t} =铜$ $

通常称为线性阻力方程。

同样,为了简单起见,我们考虑最简单的两个方案,一阶欧拉向前差分(显式),和一个一阶欧拉向后差分(隐)。如你所知,向前欧拉差分yieds:

$ $ u_ {n + 1} =δtu_ u_n-c \ {n} = u_n (1 - c \δt) $ $

显式的调用此方法,因为未来状态评估功能的现状。冯·诺依曼的稳定方法,生长因子的定义是:

$ $ \λ= \ dfrac {u_ {n + 1}} {u_n} = 1 - c \δt $ $

的方案是稳定的,当| \λ| < 1美元中性的,| \λ| = 1美元,不稳定$ | \λ| > 1美元。我们看到,欧拉方法应用于线性阻力方程可能是不稳定的。

隐式欧拉向后差分,我们有:

$ $ u_ {n + 1} = u_n-c \δt u_ {n + 1} $ $

方面让我们重新安排:

$ $ u_ {n + 1} = \ dfrac {u_n} {1 + c \δt} $ $

请注意,$ u_ {n + 1} $没有找到右边了。在这里,生长因子是:

$ $ \λ= \ dfrac {1} {1 + c \δt} $ $

我们看到,在这种情况下,| \λ| < 1美元适用于任何的价值美元加元和$ \δt $。

因此,如果一个是担心稳定,便于求解这个方程隐式方法。然而,请注意,更需要大量计算能力的隐式方法,甚至在这个简单的例子中,因为一个部门比乘法更昂贵的操作。特别是在更大、更复杂的系统的方程f (u, t)美元可能是一个大的矩阵,需要倒。

一个好的介绍性文本这些方法和在大气和海洋应用程序建模可以在这里找到:情况下,荒川:数值方法应用于大气模型(1976)。更多的引用,看到答案这个问题。