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牧师

如何确定常数C p (x) =美元美元残雪^ {-}$ ?

给定一个分布服从幂律(分形)的关系,如美元累积分布函数L_ {cf} (> X) = CR ^{-} $,如果X美元,如何找到常数C从给定数据集美元?

例如,鉴于这种表:

李[来源:c . et al。/地貌学130 (2011))

如何确定值$ L_ {cf}得到美元?看来,他们用最小二乘拟合的方法获得的值$ D $,但我似乎不明白C来自美元的值。任何帮助将不胜感激。

回答

有两个解决方案使用最小二乘法计算C和D $美元美元。这两种方法会产生不同的结果为常数。没有正确* * * *的方法。# #最小二乘法我们定义最小平方误差如下:$ $ \文本{伦敦}= \ sum_{我}{\离开(y_i - f (x_i) \右)^ 2}$ $ $ y_i x_i美元美元是我们的数据通过我们想适应函数f (x)美元。其目的是减少我们的错误文本\{伦敦}美元。解决方案(最小\文本{伦敦})美元对于一个线性函数f (x) =美元\ cdot x + b美元描述[这][1]。计算最低的基本概念\文本{伦敦}是设置美元美元\部分\文本{伦敦}/ \部分美元和美元\部分\文本{伦敦}/ \ b部分$ = $ 0 $和解决由此产生的方程系统和b美元美元。已经说过我们两个解计算C和D美元美元$ f (x) = C \ cdot x ^{-} $ # #解决方案1:查对数函数我们重写$ $ y_i = C \ cdot x_i ^ {-} $ $ $ $ \ ln {y_i} = \ ln{\离开(C \ cdot x_i ^{-} \右)}= \ ln {C} - D \ cdot \ ln {x_i} $ $美元现在我们有一个形式的函数\波浪号{y_i} = a \ cdot \波浪号{x_i} + b与美元\波浪号{y_i} = \ ln {y_i} $, $ \波浪号{x_i} = \ ln {x_i} $ $ = - D $和$ b = \ ln {C} $。因此,我们查对数测量x_i y_i值美元和美元放进线性最小平方误差法的公式。从产生的美元美元b我们比计算D美元和加元美元。 ## Solution 2: Insert the Function as it is We set $f(x) = C\cdot x^{-D}$, insert it into our $\text{lse}$ formula: $$ \text{lse} = \sum_i{\left(y_i - C\cdot x^{-D}\right)^2}$$ and minimize the resulting formula with respect to $C$ and $D$ for the given set of $x_i$ and $y_i$. This is a tricky and not as straight-forward as it is in the linear case. You could make $\partial \text{lse}/\partial C$ and $\partial \text{lse}/\partial D$ and look how far you come. ---------- I personally, prefer the answer of [Gordon Stanger][2] :-) . [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_least_squares_%28mathematics%29 [2]: //www.hoelymoley.com/users/4507/gordon-stanger

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