离心力的纳维斯托克斯方程

Question

navier - stokes方程是一组非线性微分方程的诊断风速和风向。它们(大约)表示为$ $ \压裂vec{你}}{d \ {dt} = - \压裂{1}{\ρ}{k} \微分算符P + f \帽子帽子vec{你}- g \ \ * \ {k} + \ν\微分算符^ 2 vec{你}\ $ $ $ \压裂{d} {dt} = \压裂{\部分}{\部分t} + u \压裂{\部分}{x} \部分+ v \压裂{\部分}{\偏y} + w \压裂{\部分}{\部分z} $, f是科里奥利参数,美元\ρ是密度,美元$ P $是压力,g是重力,美元\ν是运动粘度,美元和vec{你}\美元风矢量。

在天气学,教,在喷气条纹,连续喷射的曲率加速度由离心力的影响。然而,在上面的方程中,我没有看到离心组件。

curvature-based离心运动只是失踪,还是隐藏?如果它丢失,如何表达(在笛卡尔坐标系)?如果它是隐藏的,术语隐藏吗?我们可以将它分解成离心加速度和non-centrifugal ?推导的旋转就足够了,因为它将明确地说从曲率方程的一部分。

Answer 1

基于讨论在评论我的状态是不确定这是否一个答案,但是我被它绊倒,我认为我可以给一个简短的回答,一个人可以学到很多东西。

我将讨论基于极性的(\ρ,\φ)美元坐标,为了清晰。在经典力学中我们用位置矢量$ $ vec vec {e} = r \ \ _r = r \;罪(\ cosφ\ \ \φ),$ $因为美元\点vec {e}} {\ _r = \点{φ\}\;(-罪\ \φ,\ cosφ\)= \点{φ\}\;vec {\ e} _{\φ}$。在3 d球坐标,我们需要一些更多的身份,但代数不变。从这之后$ $ \导{vec r \} = \导vec {e} {r} \ _r + r \点{φ\}\ vec {e} _{\φ}$ $最后$ $ \ ddot {vec r \} = (\ ddot} {r - r \点{\φ}^ 2)vec {e} \ _r + (r \ ddot{\φ}+ 2 \点{r} \点{\φ})vec {e} _{φ\}\ $ $我们已经考虑到坐标的变化,以及单位向量。下一步将分解点\ \φ美元作为$ \点\φ=ω\ + u / r美元,而$ $ r \点\φ^ 2 = r \ω^ 2 + 2ω\ u + u r ^ 2 / $ $我们确定(在条款的顺序)1)离心,2)科里奥利术语和3)“曲率/度量”项。这个过程进行的非常好还在球坐标和一个恢复完美的条款即霍尔顿或谷地的书通过冗长的和不透明的“proof-by-picture”方法。

我说后者,因为现在我为完整方程得出结论,从我的推导是不完整的:结论:

1. 离心条件不是气象学家称之为“曲率/度量”条款。他们似乎是相同的,如果一个是草率而写美元\ω= vr $。或者经常做什么是为了计算卫星的轨道设置离心力和重力相等,而使用u r ^ 2 /美元,实际上是“弯曲”不离心。也已经身体指标项$ r \点{\φ}^ 2美元,因为这一个来自曲线坐标系统。
2. 在评论中指出,离心r \ω^ 2美元通常隐藏在气象学与重力。我们还会怀疑这种情况发生在你的设置,因为科里奥利术语出现,暗示上述计算进行了一阶,因此离心术语必须四处漂浮。
3. 曲率计算方程组中无处可寻。这可能是由于术语只是被忽视。当viewn以完整的形式在球坐标中,他们似乎很混乱,我没有发现任何方便的方式表达他们的通过一个向量或矩阵操作。因此我强烈怀疑,人们当给NS方程的矢量形式通常忽视他们,只有将它们添加在呈现组件的NS方程形式。
4. 上面的简约推导表明曲率、离心和科里奥利术语源自曲线坐标系统。任何曲线坐标系统是惯性。因此在笛卡尔坐标,惯性,这些术语一定会消失。

Answer 2

我已经通过了——引用在运动领域的飞机连续曲率的影响并在论文——背景参考惯性重力组件的隔离在一个非线性大气模型和这些引用都没有提及任何连接到一个基于笛卡尔的NS和定义坐标空间的曲率。我在气象学曲率问题是最好的(局部气流)进行了研究自然坐标系,自然坐标是什么?

在这一前提下,我想谈谈Frenet艾史蒂夫公式。在这种背景下自然坐标系中有三个正交基向量($ e_s e_n e_z)美元在哪里e_s美元是即水平风的方向向量。$ $ v_h = | v_h | * e_s $ $和e_s美元仅仅是众所周知的吗简化和e_n美元简化是正常的。我们还需要介绍曲率半径这是用于Frenet艾史蒂夫公式。必须指出曲率谈论在这个回答是外在的曲率

由于正交性e_s \ * e_n = e_z美元

我将首先解决AtmosphericPrisonEscape问题继续回答OP的问题。

的Frenet公式包括艾史蒂夫的变化率基向量。从外行的角度你能解释基向量的变化速度是什么?气象问题可以被定义在一个笛卡尔基础(x, y, z)“固定”的恒星。这系统可以被视为一个惯性系的观察者。在这个系统中没有出现“虚构的”力量,由于特定的坐标系统的选择。细节关于这个“固定”惯性坐标系中提供的参考引用的答案在第1章。

以来进行气象观测在旋转坐标系中坐标系统中描述他们是最好的,与地球自转。所以笛卡尔系统移动点对点的基向量保持固定和不不不同。OTOH在地球系统中(例如一个球体)我们通常描述的曲线坐标基向量的点对点不同。

数学在一个静止的笛卡尔坐标系统$ \压裂{de_x} {dx} = 0美元因为基向量是独立的位置。

一般曲线系统我们放弃这些假设,引入曲率的概念。所以从Frenet艾史蒂夫的视角

$ \压裂{\部分e_s}{\部分n} = \压裂{e_n} {R_n} $和类似的其他条款。

现在回答OP的问题。

如果我们把这个方程和微分它关于时间$ $ v_h = | v_h | * e_s $ $

我们得到了

$ $ \压裂{dv_h} {dt} = e_s \压裂{d | v_h |} {dt} + | v_h | \压裂{de_s} {dt} $ $

作为一个可以看到我在这里明确区分基向量e_s美元关于时间。所以第一项RHS被称为切向加速度(因为它是流线的方向)和第二项后使用Frenet艾史蒂夫公式可以等同于(和调整一些术语)

$ $ | v_h | \压裂{de_s} {dt} = e_n \压裂{v ^ 2 _h} {R_t} $ $和R_t美元的半径轨迹

第二项是向心加速度和垂直于简化。

现在有了这些信息,我们可以尝试回答OP的所有问题。

1)曲率的条纹可以用来研究的领域融合和分流。所有人把水平风矢量的散度。记住,梯度,风自然坐标向量表达的需要。在分流的曲率半径是积极的和消极的领域的融合。

2)最后的问题旋转平衡可以很容易地推导出通过将NS方程转换为自然坐标如图所示存在答案眼睛的龙卷风

我不会得到它只是给OP足够的线索OP可以推出。的法向分量NS方程是等同于正常的组件的压力梯度。我已经考虑到方程法向分量的NS方程。如果我们将这两个旋转平衡如下所示

$ $ | v_h | \压裂{de_s} {dt} = e_n \压裂{v ^ 2 _h} {R_t} $ $

$ $ \压裂{v ^ 2 _h} {R_t} = - \压裂{1}{\ρ}\压裂{\部分p}{\部分n} $ $

作为一个可以看到飞机的曲率连续影响加速度的向心力。

引用- - - - - -大气动力学:理论气象学的课程第八章。