如何图重力作为深度的函数,给定半径和密度吗?

Question

我需要这样做对于均匀密度的行星,行星,有两层。第一部分,我是考虑到密度550 kg / m³,所以我做了一个Excel电子表格中的一列,质量是半径的函数,然后另一个列,将m值美元到$ g = \压裂{通用}{r ^ 2} $。然后我画我的g值对美元半径,这给了一个线性函数。我不确定这是正确的方法,或者如何让一个函数对地球有一个以上的密度。谁有什么好主意吗?

Answer 1

只要我们处理球对称的星球,上面的壳的质量你不影响观测到的重力;小质量接近于完全取消了大量的质量远(你会漂浮在一个星球上如果它看起来像一个乒乓球,它的质量集中在表面!),这被称为牛顿定理。

你可以计算g,美元充当如果质量M美元是集中在一个点在球体的中心。因此,结合你的知识的质量M美元下你,和半径r美元对这颗行星的中心,您可以使用方程计算重力场你给!

为一个常数密度有体积V =美元\压裂{4}{3}\πr ^ 3美元,因此质量M = \ rho_1 V美元,并给出重力g (r) =美元\压裂{通用}{r ^ 2} = g \压裂{4}{3}\πr \ rho_1美元,像你这样的线性。对于两层,它是第一个大规模的总和$ 1 = \压裂{4}{3}\ pi_1R_1 ^ 3和第二质量M_2美元= \压裂{4}{3}\ pi_2 (r-R_1) ^ 3美元,但只有当这个质量是低于你,例如$ $ g ^ * (r) = \{病例}开始g \压裂{4}{3}\π\ rho_1 r & r \ leq R_1 \ \ g \压裂{4}{3}\π(\ rho_1 \压裂{R_1 ^ 3} {r ^ 2} + \ rho_2 \压裂{(r-R_1) ^ 3} {r ^ 2}) & r > R_1 \{病例}结束。$ $这应该不再是线性的,由于美元R_1 ^ 3 / r ^ 2美元的贡献!

好运！

Answer 2

为每个点当你陷入你的行星之间的平衡重力由于实心球体下面你和“抵消”地球的重力由于空心球体上面。最后是有趣的因为你是位于一个点的内表面空心球体,需要想出一个积分和重力由于空心球体中的每个方向。每一个方向都是不同的距离和不同的厚度。

地球内球面的中心了,外一个是统一在每个方向上所以净引力将0。表面上没有外球面(假设我们可以忽略大气)g完全是由一个简单的形式的牛顿公式计算。

我希望这给了你足够的线索找出解决方案。