冰川模拟的非线性Stokes方程

Question

两者有什么区别

$ $ \ operatorname {div}(- \μ(u) \微分算符u +π){1}$ $ = f \标签

而且

$ $ \ operatorname {div}(- \μ(u)(\微分算符u \颜色{红}{+(\微分算符u) ^ \ mathsf {T}}) +π){2}$ $ = f \标签

从物理的角度来看，在冰川建模的背景下?

用第一个模型来模拟冰川有意义吗?

为了解释这个符号，$u$和$p$分别表示速度场和压力场;$\mu(u)$表示与速度相关的粘度系数(例如，格伦的功率流定律)。$u$的梯度是

$$\nabla u=\left(\begin{array}{cc}\dfrac{\partial u_1}{\partial x}&\dfrac{\partial u_1}{\partial y}\\ dfrac{\partial u_2}{\partial x}&\dfrac{\partial u_2}{\partial y}\end{array}\right)$$

$(\nabla u)^\mathsf{T}$表示$\nabla u$的转置矩阵。(如果$u$有3个变量，它的梯度类似于2个变量的情况)。$f$通常是$f=(0,0，-\rho g)$，其中$g$是重力加速度常数，$\rho$是冰密度。$I$表示单位矩阵$div$一个矩阵的散度是行散度，例如，

$$\operatorname{div}\left(\begin{array}{cc}w_1&w_2\\ s_1& s_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\dfrac{\partial w_1}{\partial x}+\dfrac{\partial w_2}{\partial y}\\ \\ dfrac{\partial s_1}{\partial x}+\dfrac{\partial s_2}{\partial y}\end{array}\right).$$

这样，我们可以将(1)和(2)分别改写为:

$ $ - \ operatorname {div}(μ(u) \ \微分算符u) + \微分算符p = f $ $

而且

$ $ - \ operatorname {div}(\μ(u)(\微分算符u \颜色{红}{+(\微分算符u) ^ \ mathsf {T}}) + \微分算符p = f $ $

Answer 1

如果粘度$\mu(u)$是常数，那么这两个公式之间没有区别，因为$$ \text{div} (\mu \nabla u^t) = \mu \nabla (\text{div} u)$ $，对于不可压缩材料$\text{div} u=0$。所以这两个公式对于常数粘度是相同的。对于可变粘度，这有点复杂，实际上可能是不正确的。

一般来说，你所展示的第二种形式(加上梯度的转位)是物理上正确的形式，因为它涉及应变率$\varepsilon = \frac 12(\nabla u + \nabla u^t)$，这是物理上正确的量，其中梯度$\nabla u$没有物理现实。(这是因为$\varepsilon$的不变量与坐标系的选择无关，但$\nabla u$的不变量取决于坐标系的选择。)

你所展示的第一种形式是一种可以使用的简化形式，如果你知道(i)你有不可压缩流体，(ii)你没有诺伊曼型边界条件(因为两种公式的“自然”边界条件是不同的)。