地球出现了土地分解为两个相等的部分

Question

有子午线,正好有了土地面积180°的东180°的西(假设它可能存在…)?如果没有子午线,还有其他大圆的财产吗?

编辑:因为大卫Hammen证明存在这样一个值,它是哪一个?

尽可能多的纬度是什么出现了土地在其北比在其南(一个必然存在)?

我发现这维基百科的文章但这并没有回答这个问题。

Answer 1

TL;博士:这取决于如何定义土地面积。与一个合理的定义,这样的子午线(连同其完成地球的另一边)一定会存在由于中间值定理。也是一样的自由。

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定义的函数

• $ \ operatorname{一}_ {E}}{\文本(\λ)美元的面积是陆地的半球投射到参考椭球体的东部经度的行吗\λ美元。

• $ \ operatorname{一}_{\文本{W}}(\λ)美元土地的面积是投射到参考椭球体的半球向西经度线吗\λ美元。

• $ \ operatorname{\δA} _{\文本{朗}}(\λ)美元之间的区别是$ \ operatorname{一}_ {E}}{\文本(\λ)美元和$ \ operatorname{一}_{\文本{W}}(\λ)美元。

• $ \ operatorname{一}_ {N}}{\文本(\φ)美元土地的面积是投射到参考椭球体半球向北的纬度线吗\φ美元。

• $ \ operatorname{一}_{年代}}{\文本(\φ)美元土地的面积是投射到参考椭球体的半球向西经度线吗\φ美元。

• $ \ operatorname{\δA} _ {lat}}{\文本(\φ)美元之间的区别是$ \ operatorname{一}_ {N}}{\文本(\φ)美元和$ \ operatorname{一}_{年代}}{\文本(\φ)美元。

我的定义让每一个连续函数。注意:其他土地面积可能导致非连续函数的定义。想象一个完全垂直的悬崖,从北到南。如果这个悬崖的面积计入土地面积$ \ operatorname{\δA} _{\文本{朗}}(\λ)美元不会是连续的。这同样适用于$ \ operatorname{\δA} _ {lat}}{\文本(\φ)美元对于一个完全垂直的悬崖,东到西。

证明纬度线必须存在是很容易的,所以我先这样做。所有的地球陆地面积90°南北纬度,$ \ operatorname{\δA} _{\文本{lat}}(-90)美元一个很大的正数。所有的地球陆地面积是南北纬90°$ \ operatorname{\δA} _{\文本{lat}}(90)美元一个大的负数。因为这个大的负数和零之间大的正数,因为$ \ operatorname{\δA} _ {lat}}{\文本(\φ)美元是连续的,一定会存在至少一行纬度\φ美元的$ \ operatorname{\δA} _ {lat}}{\文本(\φ)美元是零。

关于经度,选择任意经度\λ美元。如果$ \ operatorname{\δA} _{\文本{朗}}(\λ)美元为我们有一个赢家。如果它不是零,那么$ \ operatorname{\δA} _{朗}}{\文本(\λ+ 180°)= - \ operatorname{\δA} _{\文本{朗}}(\λ)美元,存在至少一个经度\ lambda_0美元之间的\λ美元和美元\λ+ 180°在哪里$ \ operatorname{\δA} _{\文本{朗}}(\ lambda_0)美元是零。