使用纬度/经度困难两极附近的插值

Question

我一直在写一个二维插值方案使用地球上利用纬度/经度值。当我尝试使用值接近两极,纬度扭曲成了一个问题。例如:

270年、-86年- - - - - - - - - - - 0,-90这看起来像一个普通的平方的| |但当这些值将一个平面,| |他们创建一个形状,是行不通的。| |注意,相反的角落有相同的纬度。225年,-84年- - - - - - - - - - - 180年,-86年

我已经从球面到笛卡尔坐标转换,以创建一个二维平面,但仍然有这些飞机现有的在三维空间的问题,我很难“压扁”。当然必须有一个常见的方法来处理两极附近的纬度失真但我不知道它是什么。任何帮助将非常感激。

谢谢。

Answer 1

{$ \颜色{蓝}{\文本答案在这里假定地球是一个球体。}}$

{$ \颜色{蓝}{\文本这不是完全真实的,但问题似乎建立在这个假设。}}$

{$ \颜色{蓝}{\文本,确定这个答案应该澄清是相关。}}$

不要使用一个2 d平面一般不会存在了四分。使用一个四面体。你可以插入在四面体插值点,然后项目(这将在全球范围内)径向到地球表面。

说你选择了南极,年代,和三分A, B, C南纬度和经度60°0°,西方以东90°、90°。将这些坐标转换为笛卡尔形式与南极(0,0,1)美元本初子午线穿过(1,0,0)美元,我们得到的坐标

南极=(0,0,1)美元

一个=(1/2,0,- \ sqrt3/2)美元美元

B =(0 1/2 - \ sqrt3/2)美元美元

C =(0 1/2 - \ sqrt3/2)美元美元

现在假设你想插入的重量的1/2和1/6的其他三个点。把上面的坐标与系数的线性组合得到一个点P在四面体:

$ P = (1/2) (0, 0, 1) + (1/6) (1/2, 0, - \ sqrt3/2) + (1/6) (0 1/2 - \ sqrt3/2) + (1/6) (0 1/2 - \ sqrt3/2) = (1/12 0 - (2 + \ sqrt3) / 4)美元

点P有以下物理意义:如果你画四面体PABC越小,相反的年代,那么这个四面体有1/2的体积大四面体abc,在1/2系数你为这个选择P S对应的四面体相反,B, C将分别有1/6的体积大。

现在我们需要这个点投射到地球表面。找出它的距离$ d $起源:

$ d ^ 2 = (1/12) ^ 2 + 0 ^ 2 + (2 + \ sqrt3) / 4) ^ 2 = (16 + 9 \ sqrt3) / 36 \大约0.8775 d \大约0.9367美元

请注意,d < 1美元。分这$ d $为P的坐标得到近似的结果

$ P ' \大约0.0890,0,-0.9960美元

转换回球坐标然后给纬度美元\大约84.90°= 84°54美元南和经度零,后者由于东西方同样加权半球在这个例子。插值点超过一半的60°南纬圆南极,因为我们从一个分布插值点沿着这个圆而不是一个点;的重心的分布(三角形ABC \美元南latitide)超过60°。