推导浅水方程:为什么垂直速度等于表面的物质导数水平?

Question

我读到浅水方程的推导,我很难理解为什么$ $ w (\ eta) = \压裂{D \η}{Dt} $ $在哪里w美元垂直速度,\埃塔美元(顶部或底部)层和垂直边界D / Dt。美元是物质导数。

在大气和海洋流体动力学(第二版。2017年,3.1.2章),意思给了以下解释:

顶部的垂直速度的物质导数是一个特定流体元素的位置。但流体在顶部的位置\埃塔美元,因此$ $ w (\ eta) = \压裂{D \η}{Dt} $ $

为什么物质导数顶部的垂直速度?

编辑:添加了一个浅层的图解说明。如你所见,\埃塔美元不是假定为常数。

Answer 1

这是一个运动自由表面边界条件的声明:不可能有正常的流过它的边界,只有沿着它切向流。同样,正常速度(相对于接口)的自由表面流体的位置是一样的速度。

自由表面的位置定义为$ $ z = \埃塔(x, y, t) $ $然后把物质导数

$ $ \压裂{\部分z}{\部分t} + u \压裂{\部分z} {x} \部分+ v \压裂{\部分z}{\偏y} + w \压裂{\部分z}{\部分z} = \压裂{D \η}{Dt} $ $

每一项lh除了$ \压裂{\部分z}{\部分z} = 1美元去$ 0 $由于这一事实z美元这是一个独立的坐标(见回答供参考),离开了我们

$ $ w (z = \ eta) = \压裂{D \η}{Dt} $ $

Answer 2

作为一个复习,让我们参考物质导数的定义:$ $ \压裂{D} {Dt} = \压裂{\部分}{\部分t} + u \压裂{\部分}{x} \部分+ v \压裂{\部分}{\偏y} + w \压裂{\部分}{\部分z} $ $

如果我们把它应用到\埃塔美元,然后我们得到:$ $ \压裂{D \η}{Dt} = \压裂{\部分\埃塔}{\部分t} + u \压裂{\部分\埃塔}{x} \部分+ v \压裂{\部分\埃塔}{\偏y} + w \压裂{\部分\埃塔}{\部分z} $ $

让我们,第二,可以考虑\埃塔美元是液体的高度。我们可以替换\埃塔美元与z美元在液面评估。因此,我们得到$ $ \压裂{Dz} {Dt} | ^{流体}= \压裂{\部分z}{\部分t} | ^{流体}+ u \压裂{\部分z} {x} \部分| ^{流体}+ v \压裂{\部分z}{\偏y} | ^{流体}+ w \压裂{\部分z}{\部分z} | ^{流体}$ $由于只有一个欧拉依赖的导数z美元,它是$ $ \压裂{D \η}{Dt} = \压裂{Dz} {Dt} | ^{流体}= w \压裂{\部分z}{\部分z} | ^{流体}= w | ^{流体}= w (\ eta) $ $