如何获得大气的总势能呢?

Question

在洛伦兹的论文(我指的是气象学家爱德华·洛伦兹),他说,整个气氛的总势能P +我美元(意味着潜在的能量和内部能量的总和)

\{方程}开始P + I = c_p p_ {00} ^ {- x} \ int x P ^ \θdM \{方程}结束

在哪里$ p $是压力,美元p_ {00} $是一个标准的压力,x美元是比(c_p - c_v) / c_p美元,c_v美元和c_p美元的特定的加热空气,\θ美元是温度和M是质量。

根据我所知,内部能量应该是一个简单的表单{方程}int I = \ \开始c_v T dM \{方程}结束势能和引力势能,这是\{方程}开始P = \ int g h dM \{方程}结束

在哪里g美元重力加速度和吗h美元是高度。我的问题是如何洛伦茨派生形式的大气的总势能呢?原来的纸是能源和数值天气预报洛伦兹1960年,这个方程是第一个方程。

Answer 1

首先,让我们承认这一事实:$ $ c_p = R + c_v \标记{1}$ $,在那里R美元是特定的气体常数。

这意味着$ x = R / c_p $。重新排列的方程,我们可以看到$ $ P + int I = \ {c_p \离开(\压裂{P} {P_{00}} \右)^ {R / c_p} \θdM}{2} $ $ \标签请注意,美元\离开(\压裂{P} {P_{00}} \右)^ {R / c_p} $是报告》功能。推而广之,$ $ P + int I = \ {c_p T dM}{3} $ $ \标签如果我们重新排列(1)我们可以得到

$ $ P + int I = \ {c_v T + RT dM} \标记{4}$ $。你正确地观察到int I = \ {c_v T} dM美元美元。这使得$ $ P = \ int {RT dM} \标记{5}$ $。

使用理想气体定律,$ $ P = \ int {P \αdM} $ $,在那里\α美元具体体积。这使得(4)的样子$ $ P + int I = \ {c_v T + P \αdM} \标记{4}$ $这是热力学第一定律的重申:$ \δq = c_v dT + p d \α美元