双层流体静力学模型的问题

Question

双层流体静力学模型是这样的

两层的压力和顶部它很容易找到的水平梯度p_1美元和p_2美元{方程}\ \开始开始{对齐}\微分算符p_1 & = \倒三角p_H \ \ \微分算符p_2 & = \微分算符p_H + g (\ rho_2 - \ rho_1) \微分算符h_2 \ \ \{对齐}\{方程}结束结束现在我的问题是,如何获得结果\{方程}开始p_2 - p_1 = g (\ rho_2 - \ rho_1) \埃塔\{方程}结束

从上面的方程\η= h_2 - h_2美元。在书中我发现这个结果”地球物理流体动力学的基础“在164页。

Answer 1

假设我们的目标是找到\埃塔美元这是流体的位移相对于其休息的位置在哪里z = H_2美元。

我们发现{方程}\ \开始开始{分裂}p_2 - p_1 & = \需要{取消}\ bcancel {p_H} + \ rho_1 g(需要{取消}\ \ bcancel {H} -h_2) + \ rho_2g (h_2 - z) \需要{取消}\ bcancel {-p_H} - \ rho_1g(需要{取消}\ \ bcancel {H} - z) \ \ & = (\ rho_2 - \ rho_1) gh_2 - (\ rho_2 - \ rho_1)广州\ \ & = (\ rho_2 - \ rho_1) g (h_2 + \ eta) - (\ rho_2 - \ rho_1)广州\{分裂}\{方程}结束结束

除以(\ rho_2 - \ rho_1) g美元收益率

{方程}\ \开始埃塔+ H_2 - z = \压裂{p_2—p_1} {(\ rho_2 - \ rho_1) g}。结束\{方程}上面的方程告诉我们距离界面高度z美元(记住坐标原点是底部的域)。我们感兴趣的是位移相对于平均界面高度z = H_2美元,我们有{方程}\η= \ \开始压裂{p_2—p_1} {(\ rho_2 - \ rho_1) g},{方程}\结束这是你正在寻找的结果。然而,在文档中他们说他们用四个方程推导出的结果。也许是一个错误或者我丢失的东西。

我有点糊涂,你说我们能找到的结果文档,所以对于任何想知道:

使用\ phi_n = p_n / \ rho_0美元和$ g = g (\ rho_2 - \ rho_1) / \ rho_0 $,我们发现{方程}\η= \ \开始压裂{(p_2—p_1) \ rho_0} {(\ rho_2 - \ rho_1) g \ rho_0} = - \压裂{\ phi_1 - \ phi_2} {g’},{方程}\结束这对应的文档所示。