冰川建模的非线性斯托克斯方程

Question

之间的区别是什么

$ $ \ operatorname {div}(- \μ(u) \微分算符u +π){1}$ $ = f \标签

和

$ $ \ operatorname {div}(- \μ(u)(\微分算符u \颜色{红}{+(\微分算符u) ^ \ mathsf {T}}) +π){2}$ $ = f \标签

从物理的角度,在冰川建模环境?

是否有意义与第一个模型冰川吗?

解释的符号,u和美元$ p $表示字段,速度和压力分别;\μ(u)表示美元数值粘性系数(例如,格伦的功率流法)。u是美元的梯度

左($ $ \微分算符u = \ \开始{数组}{cc} \ dfrac{\部分u_1} {x} \部分& \ dfrac{\部分u_1}{\偏y} \ \ \ dfrac{\部分u_2} {x} \部分& \ dfrac{\部分u_2}{\偏y} \结束数组{}\右)$ $

美元(\微分算符u) ^ \ mathsf {T}表示美元\微分算符u美元的转置矩阵。(如果你有3美元变量梯度是类似于2-variable)。频繁,f f =美元美元(0,0,- \ρg),美元在g是重力加速度不变,美元\ρ美元冰密度。我表示美元单位矩阵和div的散度矩阵是美元的差异行,例如,

左($ $ \ operatorname {div} \ \{数组}{cc}开始w_1&w_2 \ \ s_1& s_2 \结束数组{}\右)= \离开(\开始{数组}{cc} \ dfrac{\部分w_1} {x} \部分+ \ dfrac{\部分w_2}{\偏y} \ \ \ dfrac{\部分s_1} {x} \部分+ \ dfrac{\部分s_2}{\偏y} \结束数组{}\右),$ $

这种方式,我们可以重写(1)和(2),分别如下:

$ $ - \ operatorname {div}(μ(u) \ \微分算符u) + \微分算符p = f $ $

和

$ $ - \ operatorname {div}(\μ(u)(\微分算符u \颜色{红}{+(\微分算符u) ^ \ mathsf {T}}) + \微分算符p = f $ $

Answer 1

如果你的粘度\μ(u)美元是常数,然后没有区别这两个配方,因为$ $ {div} \文本(\μ\微分算符u ^ t) = \μ\微分算符(\文本{div} u) $ $ $ {div} \文本和不可压缩材料u = 0美元。所以两个配方是相同的常数粘度。粘度为变量,这是一个更复杂,事实上可能不是正确的。

一般来说,第二种形式展示(梯度)的转置的是身体上的正确形式,因为它涉及到应变率\ varepsilon = \压裂12美元(\微分算符u + \微分算符u ^ t)美元的身体正确数量的梯度\微分算符u美元没有物理现实。(这是因为\ varepsilon美元的不变量是独立的坐标系统的选择,但不变量\微分算符u依赖美元的坐标系统的选择。)

第一种形式展示是一个简化可以使用如果你知道(我)你有一个不可压缩流体,和(2)你没有诺伊曼边界条件类型(如“自然”边界条件的两个配方是不同的)。