Exner函数的导数

Question

在《中纬度地区的中尺度气象学》(Markowski和Richardson,2011)的第13.1章中，他们使用了伯努利方程和流体静力方程以及许多假设来推导出一个预测高度的方程美元z_{暴击}$一个初始高度为的航空包裹z_0美元向势垒平流时失去所有水平速度。在他们的论证中，他们陈述了如下的同一性$ $ \ dfrac{\部分p}{\部分z} (x, z) = \ρ(x, z) c_p \θ(x, z) \ dfrac{\部分\π}{\部分z} (x, z){1} \ \标签标签{希望}$ $在哪里美元\π(x, z) = \离开(\压裂{p (x, z)} {p_0} \右)^{\压裂{R} {c_p}} $Exner函数是否具有参考压力美元p_0 \中\ mathbb {R} _ +美元常数,$ p $是压力,\θ美元是位温度，\ρ美元为密度，且c_p美元而且R美元是不变的\ \美元mathbb {R} _ +美元．

如果我试图通过求偏导来推导这个方程\π美元就高度而言z美元使用恒等式美元\π(x, z) = \压裂{T (x, z)}{\θ(x, z)} $如在维基百科(元新台币是温度)，然后我就会(抑制论点x美元而且z美元有利于可读性)$ $ \ dfrac{\部分\π}{\部分z} = \离开(\压裂{1}{p_0} \右)^{\压裂{R} {c_p}} \ dfrac{\部分}{部分z \} \ exp \离开(\压裂{R} {c_p} \ log (p) \右)= \离开(\压裂{1}{p_0} \右)^{\压裂{R} {c_p}} * \压裂{T}{\θ}*{\压裂{R} {c_p}} * \压裂{1}{p} * \ dfrac{\部分p}{\部分z} $ $乘以\ρc_p \θ美元我们得到了$ $ \ρc_p \θ\ dfrac{\部分\π}{\部分z} = \离开(\压裂{1}{p_0} \右)^{\压裂{R} {c_p}} \压裂{T R \ρ}{p} * \ dfrac{\部分p}{\部分z} $ $因为$\frac{T R \rho}{p}=1$根据理想气体定律，我们得到$ $ \ρc_p \θ\ dfrac{\部分\π}{\部分z} = \离开(\压裂{1}{p_0} \右)^{\压裂{R} {c_p}} \ dfrac{\部分p}{\部分z} $ $这几乎是在$ \ eqref{希望}$，但不完全是，我不知道如何摆脱这个因素美元\离开(\压裂{1}{p_0} \右)^{\压裂{R} {c_p}} $分别地。我不明白为什么课本里没有提到它。任何帮助都是感激的。

Answer 1

从原来的方程开始。我们先写出流体静力方程:

$$\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g$$

我们来证明一下$$-g=c_p\theta\frac{\partial \pi}{\partial z}$$

如果我们用乘法法则，我们观察到$ $ - g = c_p(\压裂{\部分\θ\π}{\部分z} - \π\压裂{\部分\θ}{\部分z}) $ $

自$ \π= \压裂{T}{\θ}$我们可以这么说T = \π\θ美元，则得到上式

$ $ - g = c_p(\压裂{\部分T}{\部分z} - \π\压裂{\部分\θ}{\部分z}) $ $

可以证明$ $ \压裂{\部分\θ}{\部分z} = \压裂{\θ}{T}(\压裂{\部分T}{\部分z} + \压裂{g} {c_p}) $ $

可以改写为$ $ \压裂{\部分\θ}{\部分z} = \压裂{1}{\π}(\压裂{\部分T}{\部分z} + \压裂{g} {c_p}) $ $

代入第四个方程$ $ - g = c_p(\压裂{\部分T}{\部分z} - \压裂{\π}{\π}(\压裂{\部分T}{\部分z} + \压裂{g} {c_p})) $ $

从这里我觉得你能算出来。

推导了$\frac{\partial \theta}{\partial z}$$ $ \θ= T(\压裂{p_0} {p}) ^ \压裂{R_d} {c_p} $ $$ $日志(\θ=日志(T) + \压裂{R_d} {c_p}(日志(p_0)日志(p)) $ $$ $ \压裂{1}{\θ}\压裂{\部分\θ}{\部分z} = \压裂{1}{T} \压裂{\部分T}{\部分z} - \压裂{R_d} {c_p P} \压裂{\部分P}{\部分z} $ $利用流体静力方程$ $ \压裂{1}{\θ}\压裂{\部分\θ}{\部分z} = \压裂{1}{T} \压裂{\部分T}{\部分z} + \压裂{R_d \ρg} {c_p P} $ $$ $ \压裂{1}{\θ}\压裂{\部分\θ}{\部分z} = \压裂{1}{T} \压裂{\部分T}{\部分z} + \压裂{g} {c_p T} $ $

$ $ \压裂{\部分\θ}{\部分z} = \压裂{\θ}{T}(\压裂{\部分T}{\部分z} + \压裂{g} {c_p}) $ $

Answer 2

回想一下，我发现我的错误在于长方程

$ \ dfrac{\部分\π}{\部分z} = \离开(\压裂{1}{p_0} \右)^{\压裂{R} {c_p}} \ dfrac{\部分}{部分z \} \ exp \离开(\压裂{R} {c_p} \ log (p) \右)= \离开(\压裂{1}{p_0} \右)^{\压裂{R} {c_p}} * \压裂{T}{\θ}*{\压裂{R} {c_p}} * \压裂{1}{p} * \ dfrac{\部分p}{\部分z} $．

我错了，因为$ $ \ dfrac{\部分}{部分z \} \ exp \离开(\压裂{R} {c_p} \ log (p) \) \ neq \压裂{T}{\θ}*{\压裂{R} {c_p}} * \压裂{1}{p} * \ dfrac{\部分p}{\部分z}, $ $而是$ $ \ dfrac{\部分}{部分z \} \ exp \离开(\压裂{R} {c_p} \ log (p) \右)= \离开(p \右)^{\压裂{R} {c_p}} *{\压裂{R} {c_p}} * \压裂{1}{p} * \ dfrac{\部分p}{\部分z} $ $

Answer 3

错误隐藏在身份中${\partial \ / \partial z} \log (p) = {1\ / p} {\partial p \ / \partial z}$．

这个公式看起来无害，如果是正确的$ p $的实值函数z美元,但$ p $实际上是一个压力值\ log (p)美元是未定义的。相反,让p ^ * = p / p_0美元为无量纲压力，则:$$ {\partial \ / \partial z} \log(p^*) = {1\ / p^*} {\partial p^*\ / \partial z} = {1\ / p} {\partial p\ / \partial z}。$ $

把它代入推导和伪数中$\left(1 \ / p_0 \right)^{R\ / c_p}$将会消失。