如何推导出大气的总势能?

Question

在洛伦兹的一篇论文中(我指的是气象学家爱德华·洛伦兹)，他指出整个大气的总势能$ p + i $(表示势能与热力学能之和)为

\begin{方程}P + I = c_p p_{00}^{-x} \int P ^x \Theta dM \end{方程}

在哪里$ p $是压力,美元p_ {00} $是标准压力吗x美元是比率$(c_p - c_v)/c_p$,c_v美元而且c_p美元是空气比热，\θ美元是温度，M是质量。

根据我的知识，热力学能应该是一个简单的形式\begin{方程}I = \int c_v T dM \end{方程}势能实际上就是重力势能，也就是\begin{方程}P = \int g h dM \end{方程}

在哪里g美元重力加速度和h美元是高度。我的问题是洛伦兹是如何推导出大气总势能的形式的?原论文为能源和数值天气预报洛伦兹1960年，该方程为本文的第一个方程。

Answer 1

首先，让我们承认这个事实:$ $ c_p = R + c_v \标记{1}$ $,在那里R美元是气体比常数。

这意味着$ x = R / c_p $．重新排列方程，我们可以看到$ $ P + int I = \ {c_p \离开(\压裂{P} {P_{00}} \右)^ {R / c_p} \θdM}{2} $ $ \标签请注意,美元\离开(\压裂{P} {P_{00}} \右)^ {R / c_p} $是报告》功能．推而广之,$$P+I=\int{c_p T dM}\tag{3}$$如果我们重新排列(1)我们可以得到

$$P+I=\int{c_v T+RT dM}\tag{4}$$．你正确地观察到int I = \ {c_v T} dM美元美元．这使得$ $ P = \ int {RT dM} \标记{5}$ $．

利用理想气体定律，$ $ P = \ int {P \αdM} $ $,在那里\α美元是比体积。这使得(4)看起来像$$P+I=\int{c_v T+P\alpha dM}\tag{4}$$这只是热力学第一定律的重申q = c_v dT + pd $