如何在浅水方程线性化?

Question

浅水方程是:

\开始{对齐}& \压裂{du} {dt} = - g \压裂{\偏h} {x} \部分+阵线\ \ & \压裂{dv} {dt} = - g \压裂{\偏h}{\偏y} - fu \ \ & \压裂{dh} {dt} = - h(\压裂{\偏u} {x} \部分+ \压裂{\部分v}{\偏y}) \{对齐}结束其中h是浅水的高度(或深度),你美元向东是速度,五美元向北是速度,g是重力加速度和f是科氏参数。

我的问题是如何使线性化方程。从线性化定理,我知道我应该采取{对齐}u = \ \开始眉题{你}+ u ' \ \增加了= \眉题{v} + v”\ \ h = \眉题{h} + h ' \{对齐}结束然后带他们到原始方程,但我就是不知道。从我的理解,把方程h美元作为一个例子,结果应该是{方程}\ \开始压裂{\部分}{\部分t}(\眉题{h} + h) +(\眉题{你}+ u ') \压裂{\部分}{x} \部分(\眉题{h} + h) +(\眉题{v} + v”) \压裂{\部分}{\偏y}(\眉题{h} + h ') = -(\眉题{h} + h)(\压裂{\部分\眉题{你}}{x} \部分+ \压裂{\部分\眉题{v}}{\偏y} + \压裂{\偏u '} {x} \部分+ \压裂{\部分v '}{\偏y}) \{方程}结束通过使用方程{对齐}\ \开始压裂{d \眉题{h}} {dt} = - \眉题{h}(\压裂{\部分\眉题{你}}{x} \部分+ \压裂{\部分\眉题{v}}{\偏y}) \{对齐}结束而忽视条款美元u ' \压裂{\偏h '} {x} \部分$和$ v ' \压裂{\偏h '}{\偏y} $,结果我获得{方程}\压裂{\ \开始偏h '}{\部分t} + \眉题{你}\压裂{\偏h '} {x} \部分+ \眉题{v} \压裂{\偏h '}{\偏y} = - \眉题{h}(\压裂{\偏u '} {x} \部分+ \压裂{\部分v '}{\偏y})——h(\压裂{\部分\眉题{你}}{x} \部分+ \压裂{\部分\眉题{v}}{\偏y}) \{方程}结束但在我的教科书,结果是公正的\开始{方程}\压裂{\偏h '}{\部分t} = - \眉题{h}(\压裂{\偏u '} {x} \部分+ \压裂{\部分v '}{\偏y}) \{方程}结束所以我想问,我哪里犯错误吗?实际上,我有同样的问题的线性化方程你美元和五美元。

Answer 1

好吧,我可以看到一件事。注意,您可以重新排列你导出的方程如下:$ $ \压裂{\偏h '}{\部分t} + \酒吧{你}\压裂{\偏h '} {x} \部分+ \酒吧{v} \压裂{\偏h '}{\偏y} + h \压裂{\部分\酒吧{你}}{x} \部分+ h ' \压裂{\部分\酒吧{v}}{\偏y} = - \酒吧{h} \离开(\压裂{\偏u '} {x} \部分+ \压裂{\部分v '}{\偏y} \右)$ $。观察到左边可以组合在一起使用乘积法则。$ $ \压裂{\偏h '}{\部分t} + \压裂{\部分\酒吧{你}h '} {x} \部分+ \压裂{\部分\酒吧{v} h '}{\偏y} = - \酒吧{h} \离开(\压裂{\偏u '} {x} \部分+ \压裂{\部分v '}{\偏y} \右)$ $

现在有两个假设可以(我没有靠近我在我写这篇文章)。我建议你读的是什么在你的教科书。可能是aomething的滞弹的假设,可能是没有平均流量,等等。然而,假设应该屈服${你}\压裂{\部分\酒吧h '} {x} \部分+ \压裂{\部分\酒吧{v} h '}{\偏y} \ approx0 $或${你}\压裂{\部分\酒吧h '} {x} \部分+ \压裂{\部分\酒吧{v} h '}{\偏y} = 0美元。