不只是地表，整个地球的平均温度是多少?

Question

当你考虑到所有的层，而不仅仅是表面，地球的平均温度是多少?到目前为止，我发现的所有东西都只涉及表面或每一层。但是如果你取所有层的(加权)平均值呢?它是如何计算的呢?这个答案似乎表明重量应该是热容:

$ $ T_{地球}= \识别裂缝分析{\ iiint_{地球}C \ \, dV} {\ iiint_{地球}C \, dV} = \压裂{\ int_0 ^ 4 \πR ^ 2 \ C (R) \ T (R) \博士}{\ int_0 ^ 4 \πR ^ 2 \ C (R) \,博士}$ $

这是一份封闭的副本问题发表于天文资料交换中心)江南电子竞技平台

Answer 1

TL;博士:约2700美元\ \文字K美元（{°C} $ 2400美元\文本，{°F} $ 4400美元\文本）

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假设重量就是单位体积的热容美元加元这$C \约\rho C_P$,在那里\ρ美元是密度C_P美元为定压时的比热容，可通过公式计算平均温度:$ $ \{对齐}开始T_{地球}& = \识别裂缝分析{\ iiint_{地球}C \ \, dV} {\ iiint_{地球}C \, dV} = \压裂{\ int_0 ^ 4 \πR ^ 2 \ C (R) \ T (R) \博士}{\ int_0 ^ 4 \πR ^ 2 \ C (R) \,博士}\ \ & = \压裂{\ int_0 ^ R R ^ 2 \ C (R) \ T (R) \博士}{\ int_0 ^ R R ^ 2 \ C (R) \,博士}\{对齐}$ $在地球物理学我们找到了一桌\ρ美元(表F.1，第469-471页)，以及元新台币和C_P美元(表G.1，第472-473页)。

我们近似C (r)美元和T (r)美元通过分段仿射函数，其中每个区间$r \in [r_n, r_{n+1}]$给出如下近似:$ $ C (r) \大约C_n + \压裂{r - r_n} {r_ {n + 1} - r_n} \ cdot (C_ {n + 1} - C_n) \ \ T (r) \大约T_n + \压裂{r - r_n} {r_ {n + 1} - r_n} \ cdot (T_ {n + 1} - T_n识别)$ $所以分子上的积分可以近似为(根据WolframAlpha）:$ $ \ int_0 ^ R R ^ 2 \ C (R) \ T (R) \ \ \ \博士约\ sum_ {n = 1} ^ {n} \ int_ {r_n} ^ {r_ {n + 1}} R ^ 2 \离开(C_n + \压裂{R - r_n} {r_ {n + 1} - r_n} \ cdot (C_ {n + 1} - C_n) \) \离开(T_n + \压裂{R - r_n} {r_ {n + 1} - r_n} \ cdot (T_ {n + 1} - T_n识别)\)\,博士\ \ = \ sum_ {n = 1} ^ {n} \压裂{1}{60}(r_ {n + 1} -r_n)左\ \ {C_n左\ [3 r_n ^ 2 (4 T_n + T_ {n + 1})识别+ r_n r_ {n + 1} (6 T_n + 4 T_ {n + 1})识别+ r_ {n + 1} ^ 2 (2 T_n + 3 T_ {n + 1})识别正确\]+ C_左{n + 1} \ [r_n ^ 2 (3 T_n + 2 T_ {n + 1})识别+ r_n r_ {n + 1} (4 T_n + 6 T_ {n + 1})识别+ 3 r_ {n + 1} ^ 2 (T_n + 4 T_ {n + 1})识别正确\]正确\ \}$ $分母变成了WolframAlpha）:$ $ \ int_0 ^ R R ^ 2 \ C (R) \ \ \ \博士约\ sum_ {n = 1} ^ {n} \ int_ {r_n} ^ {r_ {n + 1}} R ^ 2 \离开(C_n + \压裂{R - r_n} {r_ {n + 1} - r_n} \ cdot (C_ {n + 1} - C_n) \) \ \ \ = \博士sum_ {n = 1} ^ {n} \压裂{1}{12}(r_ {n + 1} - r_n)左\ [r_n ^ 2 (3 C_n + C_ {n + 1}) + 2 r_n r_ {n + 1} (C_n + C_ {n + 1}) + r_ {n + 1} ^ 2 (C_n + 3 C_ {n + 1})正确\]$ $

现在我们可以把这些表达式写成a电子表格用[1]中的值求和，然后除以结果得到最终答案:

$ $ \{对齐}开始T_{地球}识别& \大约2692 \ \文本K \ \ & = 2419 \文本{°C} \ \ & = 4386 \文本{°F} \{对齐}$ $

[1]斯泰西，F.和戴维斯，P.(2008)。地球物理学(第4版)。剑桥:剑桥大学出版社。doi: 10.1017 / CBO9780511812910