波谱总是积极的,为什么?

Question

是二维高程波谱(波数的函数和方向,单位m ^ 4美元)总是积极吗?如果是这样,为什么会这样?

Answer 1

是的,波方差或能谱,direcional或无方向性的正定@aretxabaleta在评论说。

在线性贝贝理论,水面高度被描述为一个线性正弦信号的叠加:

$ $ \埃塔(t) = \ sum_张{}^ {N} ai \罪(t + \ phi_i f_i) $ $

ai美元,f_i \ phi_i美元和美元的振幅,频率和相位,分别每一波组件我美元。

最常用的波谱是波频谱方差。波方差:

$ $ \ langle \埃塔^ 2 \捕杀= \ dfrac {1} {2 N} \ sum_ {i = 1} ^ ^ 2 = {N} a_i \σ^ 2 $ $

和波频谱方差F (F)美元是这样定义的:

$ $ F (F)δ{F} = \ \ dfrac {ai ^ 2} {2} $ $

在极限情况下的N \ rightarrow \ infty美元(连续光谱),以下是适用的:

$ $ \ int_ {0} ^ {\ infty} F (F) df = \σ^ 2 $ $

二次,两波方差(光谱积分)和个人离散谱组件是正定的。

注意,到目前为止,我们隐含无方向性的频谱,即频谱在频率空间中定义。它也可以定义在波数k空间,美元和以下持有:

$ $ \ int_ {0} ^ {\ infty} F (k) dk = \ int_ {0} ^ {\ infty} F (F) df = \σ^ 2 $ $

$ $ F (k)δ{k} = F (F) \ \δ{F} $ $

$ $ F (k) = F (F) c_g $ $

c_g美元是单个组件的群速度。

无方向性的频谱是定向频谱在各个方向的积分:

$ $ \ int_ {0} ^ {\ infty} F (k) dk = \ int_{0} ^{2π\}\ int_ {0} ^ {\ infty} F (k, \θ)dkd \θ$ $

小心单位。所有光谱积分必须在m ^ 2美元。因此,F (k)的单位是美元$ m ^ 3 $和$ F (k, \θ)的单位是m ^ 3美元$ $ rad ^ {1} $。

如果你正在考虑极性(光谱垃圾箱缩放$ k美元\θ代替美元\θ)定向波数谱等:

$ $ \ int_{0} ^{2π\}\ int_ {0} ^ {\ infty} F (k, \θ)k \ dk \ dθ= \ \σ^ 2 $ $

然后$ F (k, \θ)的单位是米^ 4美元$ $ rad ^ {1} $。