如何确定常数C p (x) =美元美元残雪^ {-}$ ?

Question

给定一个分布服从幂律(分形)的关系,如美元累积分布函数L_ {cf} (> X) = CR ^{-} $,如果X美元,如何找到常数C从给定数据集美元?

例如,鉴于这种表:

李[来源:c . et al。/地貌学130 (2011))

如何确定值$ L_ {cf}得到美元?看来,他们用最小二乘拟合的方法获得的值$ D $,但我似乎不明白C来自美元的值。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

有两个解决方案使用最小二乘法计算C和D $美元美元。这两种方法会产生不同的结果为常数。没有正确的方法。

最小二乘法

我们定义最小平方误差如下:$ $ \文本{伦敦}= \ sum_{我}{\离开(y_i - f (x_i) \右)^ 2}$ $ $ y_i x_i美元美元是我们的数据通过,我们要适应一个函数f (x)美元。其目的是减少我们的错误文本\{伦敦}美元。

解决方案(最小\文本{伦敦})美元对于一个线性函数f (x) =美元\ cdot x + b美元在这里。计算最低的基本概念\文本{伦敦}是设置美元美元\部分\文本{伦敦}/ \部分美元和美元\部分\文本{伦敦}/ \ b部分$ = $ 0 $和解决由此产生的方程系统和b美元美元。

已经说过我们两个解计算C和D美元美元$ f (x) = C \ cdot x ^ {-} $

解决方案1:查对数的函数

我们重写$ $ y_i = C \ cdot x_i ^ {-} $ $ $ $ \ ln {y_i} = \ ln{\离开(C \ cdot x_i ^{-} \右)}= \ ln {C} - D \ cdot \ ln {x_i} $ $

现在我们有一个函数的形式\ \波浪符号{y_i} =美元cdot \波浪号{x_i} + b与美元\波浪号{y_i} = \ ln {y_i} $, $ \波浪号{x_i} = \ ln {x_i} $ $ = - d $和$ b = \ ln {C} $。因此,我们查对数测量x_i y_i值美元和美元放进线性最小平方误差法的公式。从产生的美元美元b我们比计算D美元和加元美元。

解决方案2:插入功能

我们设置$ f (x) = C \ cdot x ^{-},美元将它插入我们的文本\{伦敦}公式:美元$ $ \文本{伦敦}= \ sum_i{\离开(y_i - C \ cdot x ^{-} \右)^ 2}$ $,减少由此产生的公式对C和D美元美元给定的一组x_i y_i美元和美元。这是一个棘手而不是简单的线性的情况。可以让美元\部分\文本{伦敦}/ \部分美元和加元\部分\文本{伦敦}/ \ D部分美元,看起来你走了多远。

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我个人更喜欢的答案戈登斯坦格:-)。

Answer 2

C是纯粹的经验对于任何给定的情况。当心这样的方程!利用系数6个有效数字给出了错觉精度高,事实上,整个方法是极其“橡胶”,高度依赖于当地水文地质/土壤类型。表达式是唯一有效的位置校准。排水系统的一个小改变可以使一个巨大的变化方程,就我个人而言,我认为这种随机简化复杂的流程是不值得写的那张纸!智能导数值的潜在滑坡条件下,以地质和排水,可能只是一样好导游(通常不校准)方程。