光谱方法在数值天气预报模型中如何工作?

Question

我很熟悉数值天气预报模型的概念，使用各种有限方法来求解这些模型中使用的原始方程，但一般来说，光谱方法是如何工作的?

使用“传统”有限差分或有限体积方法的NWP模型与使用光谱方法的NWP模型之间的基本区别是什么?

Answer 1

假设大气可以用不同频率的波来模拟。因此，大气可以写成一系列具有不同频率和系数的正弦和余弦函数。考虑线性平流方程:$$\frac{\partial u}{\partial t}= -c \frac{\partial u}{\partial x}$$

考虑假设$u$可以被建模为$$u=\sum^\infty_{|n|=0} A_n(t)\exp(i\omega_n x) $$但由于我们的计算资源有限，$$u=\sum^\infty_{|n|=0} \frac{d A_n(t)}{dt}\exp(i\omega_n x)=-c\sum^\infty_{|n|=0} i\omega_n A_n(t)\exp(i\omega_n x) $$

如果我们对这个方程积分，并利用正弦和cos的正交性质，$$\int^L_0 \sum^\infty_{|n|=0} \frac{d A_n(t)}{dt}\exp(i\ omega_m x)dx=-c\int^L_0 \sum^\infty_{|n|=0} i\omega_n A_n(t)\exp(i\omega_n x)\exp(i\omega_m x)dx$$那么求和符号就可以去掉了。$ $ \压裂A_m {d (t)} {dt} = " \ omega_m A_m (t) $ $现在可以解析解，这样我们就有了平流方程的解析解，但是我们可以用数值模拟，把有限差分符号和谱解结合起来对平流方程进行数值积分。

例如,$ $ u_ {n + 1} = u_nδt - c \ \和^ \ infty_ {l | | = 0}我\ omega_l A_l (t) \ exp(我\ omega_l x) $ $

总结一下，

• 假设变量可以表示为基函数的和，通常是正弦和余弦函数。
• 创建一个截断级数(傅立叶级数)，为所述量创建一个解析表达式。
• 计算截断级数的导数，并将导数(通常用有限差分近似计算)替换为导数的解析表示。
• 时间上的数值积分。

现在有很多限制，比如这个方程的非线性版本。如果我手头有笔记，我就能更多地解决这些问题。我有空的时候会编辑的。此外，模型物理不能在光谱空间中计算，因此必须从光谱空间转换到物理空间，反之亦然。

我将检查我的笔记，稍后改正我能发现的错误。