在给定半径和密度的情况下，如何画出重力与深度的函数关系?

Question

我需要对一个密度均匀的行星和一个有两层的行星这样做。对于第一部分，我已知密度为550 kg/m³，所以我在Excel电子表格中制作了一列，将质量作为半径的函数，然后制作了另一列，将$ m $值插入$g = \frac{GM}{r^2}$中。然后我把g的值和半径画出来，得到一个线性函数。我不确定这是否是正确的方法，也不确定如何为拥有不止一种密度的行星构造一个函数。有人有什么想法吗?

Answer 1

只要我们处理的是球对称行星，你上面的外壳质量不会影响观测到的重力;近处的小质量恰好抵消了远处的大质量(如果一颗行星看起来像一个乒乓球，而且所有的质量都集中在表面，你就会漂浮在它内部!)，这被称为牛顿壳层定理。

然后你可以计算$g$，就好像质量$M$集中在球体中心的一点上。因此，结合你下面的质量$M$的知识，以及指向这个星球中心的半径$r$，你可以用你给出的方程计算重力场!

对于恒定密度，我们有体积$V=\frac{4}{3}\pi r^3$，因此质量$M=\rho_1 V$，重力$g(r)=\frac{GM}{r^2}= g \frac{4}{3}\pi r \rho_1$，就像你发现的那样是线性的。对于两层，它是第一个质量$M_1=\frac{4}{3}\pi_1R_1^3$和第二个质量$M_2=\frac{4}{3}\pi_2(r-R_1)^3$的和，但只有当这个质量在你下面时，即$g^*(r) =\ begin{cases} g \frac{4}{3}\pi \rho_1 r & r\leq R_1\ g \frac{4}{3}\pi(\rho_1\frac{R_1^3}{r^2}+\rho_2\frac{r-R_1)^3}{r^2} & r>R_1\end{cases}。由于R_1^3/r^2的贡献，这应该不再是线性的了!

好运！

Answer 2

当你下降到你的星球上的每一点，你都有一个平衡，重力来自你下面的一个实心球体，重力来自你上面的一个空心球体。最后一个是有趣的，因为你位于空心球体内表面的一点，需要提出一个积分，将空心球体中每个方向的重力相加。每个方向的距离和厚度都不同。

在行星的中心，内层球体消失了，外层球体在每个方向上都是均匀的，所以净重力将为0。在地表上没有外层球体(假设我们可以忽略大气)，所以g完全是由牛顿公式的一个简单形式计算出来的。

我希望这能给你足够的线索来解决你的问题。