路易斯·阿尔瓦雷斯的K-T冲击器计算

Question

我正在尝试执行路易斯·阿尔瓦雷斯用来确定K-T冲击器大小的计算。我使用了以下信息:

1. 假设含有铱的粘土层因撞击而均匀地分布在地球周围。
2. 平均而言，该层的铱浓度为十亿分之一(ppb)。
3. 平均厚度为4厘米。
4. 层密度为2.5 g/cm^3.．
5. 假设流星是球形的，密度为6.0克/厘米^3.，铱含量为0.5 ppm (ppm)。
6. 地球的半径是6378公里。

陨石的直径是多少?答案并不是确切的10公里。你需要改变多少假定的铱层厚度，才能使小行星的直径恰好为10公里?

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我的尝试:

美元m_{层}= \π(2.5克/厘米^ 3)((6378 \ cdot 10 ^ 5) ^ 4 - (6378 \ cdot 10 ^ 5 - 4) ^ 4) = 3.26 \ cdot 10 ^ {28} g美元

美元m_ {iridiuminlayer} = (3.26 \ cdot 10 ^ {28}) (10 ^ {8}) = 3.26 \ cdot 10 ^ {20} g美元

这就是我陷入困境的地方。似乎没有足够的信息来计算流星的半径，因为D = m/V，我们已经给出了密度和质量比。我试着做了第二部分，假设小行星的直径是10公里，计算流星的质量，流星中的铱元素，以及地球表面铱元素的平均分布。如果我知道如何计算流星的体积/质量，我就能解决剩下的问题。请帮助!

Answer 1

球体的体积是$\small\sf{\frac4 3\pi R^3}$,在那里$ \小\科幻{R} $是半径。

富含铱层4厘米深的地球体积是，

$ \小\科幻{V_ {Ei} = \压裂3 \ 4π(6.378 \ cdot10 ^ 6) ^ 3} $$ \小\科幻{m ^ 3} $＝$\small\sf{1.086 \ 781 \cdot 10^{21}}$$ \小\科幻{m ^ 3} $

4厘米深的富铱层的体积为，

$\small\sf{V_i = \frac 4 3\pi (6.378\cdot10^6)^3} -\frac 4 3\pi (6.378\cdot10^6 - 0.04)^3 $$ \小\科幻{m ^ 3} $＝$\small\sf{2.044 \cdot 10^{13}}$$ \小\科幻{m ^ 3} $

密度是质量除以体积，$\small\sf{\rho = m/v}$，则富铱层的质量为，

$ \小\科幻{m_i = 2.5 \ \ 2.044 cdot cdot 10 ^ {13} = 5.110 \ cdot 10 ^ {13}} $吨

层中铱的比例为10 ppb，因此层中铱的质量为，

$\small\sf{5.110 \cdot 10^{13} \cdot 10 \cdot 10^{-9}} = 511 \ 000$吨

现在，流星中铱的比例是0.5 ppm，因此流星的质量是，

$ \小\科幻{511 \ 000 / (0.5 \ cdot 10 ^ {6}) = 1.0220 \ cdot 10 ^ {12}} $吨

流星的密度是$\small\sf{6.0 \ g/cm^3}$，等于$\small\sf{6.0 \ t/m^3}$因此，流星的体积为，1.0220 $ \小\科幻{\ cdot 10 ^ {12} / 6.0} = 1.703 \ 333 \ cdot 10 ^ {11} m ^ 3美元

利用这个公式和球体的体积方程，陨石的半径为，

$ \小\科幻{\ sqrt[3](\压裂3{4π\}\ cdot 1.703 \ 333 \ cdot 10 ^{11})} = 3438.774美元\ m

流星的直径为6877.5米(6.878公里)

不是你想要的10公里。

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为了得到你想要的直径为10公里的流星的厚度，反向进行计算。

对于直径为10000米的球形流星，其体积将是，

$\small\sf{\frac 4 3 \cdot \pi \cdot 5000^3} = 523.598 \ 776 \cdot 10^9 \ m^3$

密度为$\small\sf{6 \ t/m^3}$流星的质量是

$\small\sf{6(523.598 \ 776 \cdot 10^9)} = 3.141 \ 592 \ 6 \cdot 10^{12} t$

铱的金属品位为0.5 PPM，流星中铱的质量应该是，

$\small\sf{3.141 \ 592 \ 6 \cdot 10^{12} \cdot 0.5 \cdot 10^{-6} = 1 \ 570 \ 796 \ t}$

地球上铱层的金属品位为10 ppb，因此铱层的质量为，

$ \小\科幻{(1 \ 570 \ 796)/ (10 \ cdot 10 ^ {9}) = 1.570 \ 796 \ 327 \ cdot 10 ^ {14} \ t} $

密度为2.5 $ \小\科幻{\ t / m ^ 3} $，层的体积为，$ \小\科幻{(1.570 \ 796 \ 327 \ cdot 10 ^ {14}) / 2.5 = 6.283 \ 185 \ cdot 10 ^ {13} \ m ^ 3} $

由前面的计算可知，层的体积为:

$\small\sf{6.283 \ 185 \cdot10^ {13} = \frac 4 3\pi (6.378\cdot10^6)^3} -\frac 4 3\pi (6.378\cdot10^6 - x)^3 $$ \小\科幻{m ^ 3} $＝$\small\sf{2.044 \cdot 10^{13}}$$ \小\科幻{m ^ 3} $

解$ \小\科幻{x} $，即该层的厚度，则得到$\small\sf{x} = 0.123\ m\或\ 12.3\ cm$