如何让一个Python函数返回月球的引力(加速度)计算轨道?

Question

空间本身的问题要花多少钱在月球土地质量密集?包括下面的背景信息。我相信它并不难找到一个链接,球面谐波系数对于一些月球的引力模型可以发现,但难的是把它们变成一个实际的单位向量力场的m / s²。

引力势系数可能会,会有一些方法采取梯度获得一个字段,但是我从来没有能够理解这种数据。例如看到:

• Ceres重力球函数从黎明,如何得到系数,定义和潜力?
• 如何验证我的重建谷神星的重力场球函数?

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这些地图显示出月球重力异常来衡量美国宇航局的圣杯的使命。(图片来源:美国国家航空航天局/姓名/ CSM)

从Space.com的神秘的月球粗笨的重力解释道全尺寸,点击。

的布格异常图显示高重力多达约600毫伽。维基百科加(单位)解释这意味着什么;0.6加0.006 m / s²或几乎半个月球的重力,平均的百分之一,他们扩展到相当大的距离。

加(象征:加),有时被称为伽利略伽利略后,是加速度的单位广泛用于重力测量的科学。加被定义为1厘米每秒的平方(1厘米/秒²)。毫伽(毫伽)和微加(µGal)分别为1000和1000000加。

Answer 1

从我的理解,应该有可能遵循类似的过程是做什么计算地球的引力势的梯度(忽略了潜在的纠正由于固体潮汐的月亮,不知道这些是多么重要,但他们似乎从存在这篇文章。

首先,我相信我们可以看看方程108本技术报告身体,它定义了潜在的吸引W_a美元在球坐标:

$ $ W_a (r \λ\ varphi) = \压裂{通用}{r} \ sum_ {\ mathscr {l} = 0} ^ {\ mathscr {l} _{马克斯}}\ sum_ {\ mathscr {m} = 0} ^ {\ mathscr {l}} \离开(\压裂{r} {r} \右)^ \ mathscr {l} P_ {\ mathscr {lm}} (sin (\ varphi)) \离开(C_ ({\ mathscr {l} m} ^海关组织(m \λ)+ S_ {\ mathscr {l} m} ^ Wsin (m \λ)\右)$ $

地点:

• 通用美元是身体的重力参数中央
• R美元是中央的参考半径的身体吗
• r美元的径向距离的点潜力评估,在球坐标吗
• \λ美元是它的经度
• \ varphi美元是它的纬度
• 美元$ P_ {\ mathscr {lm}}是相关的勒让德函数的学位l $ \ mathscr {} $和秩序$ \ mathscr {m} $
• $ C_ {\ mathscr {l} m} ^ W美元和$ S_ {\ mathscr {l} m} ^ W美元是斯托克斯系数通常与重力分布模型,我经常看到表示Cnm和核材料,或者只是作为.tab C和s .这些文件与月球引力模型的评论。

和120年方程从相同的文档给重力势的梯度表达式:

$ $ \微分算符{W} = W_r \ overrightarrow {e_r} + \压裂{1}{r \因为\ \ varphi} W_ \λ\ overrightarrow {e_ \λ}+ \压裂{1}{r} W_ \ varphi \ overrightarrow {e_ \ varphi} $ $

地点:

• $ \ overrightarrow {e_r} $,$ \ overrightarrow {e_ \λ}$和$ \ overrightarrow {e_ \ varphi} $球面坐标系的单位向量,我发现了什么图1.1在这里非常有用的理解。只是注意说图使用极角代替纬度和每个角的符号也不同。
• W_r美元,W_ \λ美元和W_ \ varphi美元的偏导数是吗W美元关于r美元,\λ美元和\ varphi美元。

所以我们需要这些偏导数计算潜在的梯度在球坐标,之后我们可以改变其他坐标系/的参照系。ICGEM文档的方程122确实给这些3偏导数表达式:

$ $ \ dfrac{\部分W}{\部分r} = - \压裂{通用}{r ^ 2} \ sum_ {\ mathscr {l} = 0} ^ {\ mathscr {l} _{马克斯}}\离开(\压裂{r} {r} \右)^ \ mathscr {1} (\ mathscr {l} + 1) \ sum_ {m = 0} ^ {\ mathscr {l}} P_ {\ mathscr {l} m}(罪\ \ varphi) \左(C_ {\ mathscr {l} m} ^海关组织(m \λ)+ S_ {\ mathscr {l} m} ^ Wsin (m \λ)\右)$ $$ $ \ dfrac{\部分W}{\部分\λ}= \压裂{通用}{r} \ sum_ {\ mathscr {l} = 0} ^ {\ mathscr {l} _{马克斯}}\离开(\压裂{r} {r} \右)^ \ mathscr {l} \ sum_ {m = 0} ^ {\ mathscr {l}} mP_ {\ mathscr {l} m}(罪\ \ varphi) \左(S_ {\ mathscr {l} m} ^海关组织(m \λ)-C_ {\ mathscr {l} m} ^ Wsin (m \λ)\右)$ $$ $ \ dfrac{\部分W}{\部分\ varphi} = \压裂{通用}{r} \ sum_ {\ mathscr {l} = 0} ^ {\ mathscr {l} _{马克斯}}\离开(\压裂{r} {r} \右)^ \ mathscr {l} \ sum_ {m = 0} ^ {\ mathscr {l}} \ dfrac{\部分P_ {\ mathscr {l} m}(罪\ \ varphi)}{\部分\ varphi} \离开(C_ {\ mathscr {l} m} ^海关组织(m \λ)+ S_ {\ mathscr {l} m} ^ Wsin (m \λ)\右)$ $

我注意到的一件事是,纬度的偏导数应该是,我相信,乘以cos的纬度,如果我们遵循链式法则衍生品。我对这个要求,但我开始相信cos的疏忽可能会有因为几个递归算法的计算勒让德函数的导数,在现实中,直接计算导数的乘积的cos纬度。我已经证实,这是当然的李尔的算法从NASA文档为例。所以这些值是准备使用的偏导数的表达式重力的潜力。

最后问题解决之前将一切能够计算重力势的梯度(旁白从转换到笛卡尔坐标系)是计算相关的勒让德函数的值及其衍生品。

关于勒让德函数的归一化和斯托克斯系数,这确实是关键。原始的勒让德函数和Cnm /核相关系数由归一化因子归一化版本美元N_ {nm} $的表达式在这里为例。似乎有事实上,正如你所指出的,几个规范化方案,另一个是,例如,所谓的施密特正常化。然而,大地测量学领域的(几乎)似乎总是我们使用4π,Kaula,大地测量学或全部标准化(我见过这4项被应用到相同的归一化)。4π正常化这个词似乎是源于这样一个事实,它使得4π的平方球面谐波产生价值当集成在一个球体。

然而,根据Vallado天体动力学的基本原理和应用程序,8.6节,这样的调查采用的实践理性这一领域,对球面谐波的高度和秩序,斯托克斯的价值系数变得很小,而相关的勒让德函数的值变得非常大。所以系数除以所提到的归一化因子,和勒让德函数乘以它,和标准化的同行用直条过去(我也见过一个大酒吧里有消息,但这似乎表示施密特部分归一化)。例如,美元$ \眉题{C_ {nm}}

的结果是,斯托克斯的产品系数和勒让德函数依然没有改变不管应用标准化方案,但它是关键,同样的标准化应用于两种。月球重力场中的系数似乎完全规范化,因此我们需要匹配完全规范化的勒让德函数。这些可以获得相对简单的递归关系,这其中有许多存在。但提供一个参考,我发现不错,这个NASA文档提供了一些。我目前使用李尔的算法3链接文档的(不幸我没有在Python代码,但我乐于提供实现R和C + +如果帮助;我决定写我自己的实现,因为它非常简单,这样,我完全确信正确的规范化使用)。此外,美国宇航局文档为表达式提供了可以验证李尔的算法的实现。

我已经测试了这个地球的情况下与GGM05C模型通过计算梯度向量的模,比较它与值报告通过这个工具同样的观点。

有关单位、斯托克斯系数(Cnm和球形结构和勒让德函数是无量纲的,所以单位将由单位决定通用美元和R美元。后插入3偏导数梯度的表达式,结果是在(距离)的尺寸/[时间]^ 2,即。、加速度单位,这是讲得通的重力梯度。

转换后的梯度的笛卡尔坐标系统,它可以直接用作加速度此时重力场造成的中心点。

编辑:

我有去在Python编写一些必需的功能。他们可以在这里找到。我离开这里概述的工作流将重建重力梯度在Python中:

1. 从模型文件读取Cnm和球形结构系数。重要的是确保这些是“完全规范化”系数(尽管如此,据我所见,所有天体的引力模型主要使用它们。但重要的是要检查在头文件)。
2. 计算归一化的值关联的勒让德函数及其衍生产品在目标纬度。这个可以用勒让德函数使用李尔的递归算法和接收作为输入所需的程度(n)和秩序(m),以及目标纬度弧度(不是余纬度/极角!)
3. 使用Cnm和球形结构系数和勒让德函数及其导数计算重力梯度在球坐标所需的位置。这个可以用函数gravityGradientSphericalCoords收到作为输入,按照这个顺序:数组的勒让德函数值(Pnm)、勒让德函数的导数值的数组(dPnm) Cnm,球形结构,纬度,经度,r(极坐标的径向距离目标位置),参考半径对中央的身体是谁的重力场计算(r),重力参数表示中央身体(GM),最大程度的计算要考虑潜在的(n)和最大的梯度(m)。实际上,目前的实现将使用所有订单程度上n。这将返回重力势对的偏导数r美元,\ varphi美元(纬度),\λ美元(经度),在这个秩序。
4. 这些方程可以输入120提到技术注意获取重力梯度在球坐标,然后进一步转化成笛卡尔坐标系。

编辑2

我想我终于设法重建并应用月球的引力模型正确。

然而,有一件事要解决之前,我没有想到,这是参考帧产生的加速度通过应用上面描述的过程。

挖掘后的文档GRGM1200一系列模型,似乎所有的GRGM模型使用月球轴(MPA)的参照系。事实上这似乎很方便,根据2.4节,MPA之间的转换和Moon-centered ICRF(我们称之为SCRF,因为它是一个selenocentric参照系)只需要月球天平动角度,描述在这个答案喷气推进实验室提供的德星历表。

基本上,如果我们想要获得一个加速SCRF由于月球的重力场,流程是:

• 在SCRF获得目标点的坐标框架。如果我们让他们在GCRF(地心ICRF),我们可以很容易地获得他们通过计算卫星位置与JPL德星历表和减法。
• 从SCRF MPA,计算旋转矩阵,应用逆旋转在SCRF目标点的位置。这个收益率MPA帧的位置
• MPA的位置转换为球面坐标。这给一组球坐标,可以直接输入过程中我和之前的编辑描述计算重力势的梯度。如前所述,这将是最初一个向量在球坐标。
• MPA的梯度球坐标转换为在同一MPA笛卡尔坐标框架。这可以用截面方程8-27 8.6.1 Vallado天体动力学原理和应用程序,但是对于完整性,我复制在这里:$ $ a_x = \离开(\压裂{1}{r} \ dfrac{\部分W}{\部分r} - \压裂{r_z} {r ^ 2 \√{r_x ^ 2 + r_y ^ 2}} \ dfrac{\部分W}{\部分\ varphi} \右)r_x - \离开(\压裂{1}{r_x ^ 2 + r_y ^ 2} \ dfrac{\部分W}{\部分\λ}\右)r_y $ $$ $得+ = \离开(\压裂{1}{r} \ dfrac{\部分W}{\部分r} - \压裂{r_z} {r ^ 2 \√{r_x ^ 2 + r_y ^ 2}} \ dfrac{\部分W}{\部分\ varphi} \右)r_y + \离开(\压裂{1}{r_x ^ 2 + r_y ^ 2} \ dfrac{\部分W}{\部分\λ}\右)r_x $ $$ $ a_z = \压裂{1}{r} \ dfrac{\部分W}{\部分r} r_z + \压裂{\√6 {r_x ^ 2 + r_y ^ 2}} {r ^ 2} \ dfrac{\部分W}{\部分\ varphi} $ $

在哪里a_x美元,得+美元和a_z美元是X, Y和Z分量的加速度MPA框架,然后呢r_x美元,r_y美元和r_z美元是X, Y和Z组件MPA帧的目标位置。

• 从这里开始,应用前面计算旋转矩阵从MPA SCRF将产生加速度的惯性SCRF框架

我已经证实这种方法通过传播GRAIL-A卫星的位置和比较它与喷气推进实验室提供的星历表视野系统。星历表可以获得在这里,直接在SCRF框架(ICRF集中在月球)。结果是很有希望的!我1天的轨道,传播输出结果每30分钟,自2012年4月4日,在就是(UTC)。下面的图显示了我的立场和视野的星历表计算之间的区别。注意,传播了不考虑太阳辐射压力,反照率、红外辐射压力。只有从月球重力加速度,由太阳和行星吸引群众,被认为是。黑线是只考虑月球重力球函数的情况下到10度,和红度150行:

这里我们有一个150年的时间性差异程度:

好转,当考虑甚至更高的学位!

这是有趣的!

编辑3

完成,我实现了一个短的Python函数加速度在球坐标转换到笛卡尔(身体固定)。这是可以做到的函数accelSPHtoCART