什么是整个地球的平均温度,而不仅仅是表面吗?

Question

地球的平均温度是什么当你考虑所有的层,不仅表面吗?一切我发现到目前为止只关注表面或单独每一层。但是如果你把所有层的平均(加权)?和它是如何计算的?这个答案似乎表明权重应该热容:

$ $ T_{地球}= \识别裂缝分析{\ iiint_{地球}C \ \, dV} {\ iiint_{地球}C \, dV} = \压裂{\ int_0 ^ 4 \πR ^ 2 \ C (R) \ T (R) \博士}{\ int_0 ^ 4 \πR ^ 2 \ C (R) \,博士}$ $

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Answer 1

TL;博士:约2700美元\ \文字K美元({°C} $ 2400美元\文本,{°F} $ 4400美元\文本)

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假设权重的确是每单位体积热容美元加元这C \大约\ρC_P美元,在那里\ρ美元是密度和C_P美元是在恒压比热容,我们可以计算的平均温度公式:$ $ \{对齐}开始T_{地球}& = \识别裂缝分析{\ iiint_{地球}C \ \, dV} {\ iiint_{地球}C \, dV} = \压裂{\ int_0 ^ 4 \πR ^ 2 \ C (R) \ T (R) \博士}{\ int_0 ^ 4 \πR ^ 2 \ C (R) \,博士}\ \ & = \压裂{\ int_0 ^ R R ^ 2 \ C (R) \ T (R) \博士}{\ int_0 ^ R R ^ 2 \ C (R) \,博士}\{对齐}$ $在地球物理的斯泰西&戴维斯[1]我们发现一桌\ρ美元(表F.1,页469 - 471),和一个表元新台币和C_P美元(表G.1,页472 - 473)。

我们近似C (r)美元和T (r)美元通过分段仿射函数,每个区间$ r \ [r_n, r_ {n + 1}]美元给下列近似:$ $ C (r) \大约C_n + \压裂{r - r_n} {r_ {n + 1} - r_n} \ cdot (C_ {n + 1} - C_n) \ \ T (r) \大约T_n + \压裂{r - r_n} {r_ {n + 1} - r_n} \ cdot (T_ {n + 1} - T_n识别)$ $所以积分在分子可以用(根据近似WolframAlpha):$ $ \ int_0 ^ R R ^ 2 \ C (R) \ T (R) \ \ \ \博士约\ sum_ {n = 1} ^ {n} \ int_ {r_n} ^ {r_ {n + 1}} R ^ 2 \离开(C_n + \压裂{R - r_n} {r_ {n + 1} - r_n} \ cdot (C_ {n + 1} - C_n) \) \离开(T_n + \压裂{R - r_n} {r_ {n + 1} - r_n} \ cdot (T_ {n + 1} - T_n识别)\)\ \ \ = \博士sum_ {n = 1} ^ {n} \压裂{1}{60}(r_ {n + 1} -r_n)左\ \ {C_n左\ [3 r_n ^ 2 (4 T_n + T_ {n + 1})识别+ r_n r_ {n + 1} (6 T_n + 4 T_ {n + 1})识别+ r_ {n + 1} ^ 2 (2 T_n + 3 T_ {n + 1})识别正确\]+ C_左{n + 1} \ [r_n ^ 2 (3 T_n + 2 T_ {n + 1})识别+ r_n r_ {n + 1} (4 T_n + 6 T_ {n + 1})识别+ 3 r_ {n + 1} ^ 2 (T_n + 4 T_ {n + 1})识别正确\]正确\ \}$ $和分母(根据WolframAlpha):$ $ \ int_0 ^ R R ^ 2 \ C (R) \ \ \ \博士约\ sum_ {n = 1} ^ {n} \ int_ {r_n} ^ {r_ {n + 1}} R ^ 2 \离开(C_n + \压裂{R - r_n} {r_ {n + 1} - r_n} \ cdot (C_ {n + 1} - C_n) \) \ \ \ = \博士sum_ {n = 1} ^ {n} \压裂{1}{12}(r_ {n + 1} - r_n)左\ [r_n ^ 2 (3 C_n + C_ {n + 1}) + 2 r_n r_ {n + 1} (C_n + C_ {n + 1}) + r_ {n + 1} ^ 2 (C_n + 3 C_ {n + 1})正确\]$ $

现在我们可以写这些表达式电子表格与[1]的值,然后和他们把结果得到最后的答案:

$ $ \{对齐}开始T_{地球}识别& \大约2692 \ \文本K \ \ & = 2419 \文本{°C} \ \ & = 4386 \文本{°F} \{对齐}$ $

[1]斯泰西,F。,& Davis, P. (2008). Physics of the Earth (4th ed.). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511812910