什么是一般公式为地球重力是半径的函数,给出了球壳模型?

Question

我试图推导出重力加速度公式作为地球半径的函数g (r)美元给定一个球壳模型,每个壳都有一个恒定的密度\ρ(r)美元。如果我设置r = 0美元地幔边界,我认为这是类似的:

$ g (r) = \压裂{4 \πg} {3 r ^ {2}} [\ int_ {0} ^ {r}{\ρ}(r) r ^ {2}。博士+ F)美元

在哪里$ F $占核心质量。但我想确认/引用如果可能的话!谢谢!

迄今为止编辑:这是我的想法:在一个半径r美元,

$ g (r) = \压裂{g} {r ^ {2}} \ int_ {V} \ rho.dV $

在哪里五美元下面的体积是r美元。自$ V = \压裂r ^{4 \π}{3}{3}$,dV = 4美元\πr ^{2}运作美元。所以

$ g (r) = \压裂{4 \πg} {r ^ {2}} \ int_ {0} ^ {r} \ρ(r) r ^{2}运作美元,加上一个常数为核心的质量。

Answer 1

正确,你的公式应该阅读

$ g (r) = \压裂{4 \πg} {(r + r_c) ^ 2} [\ int_ {0} ^ {r}{\ρ}(r) r ^ {2}。博士+ F)美元

(这是你的径向距离平方反比定律的观点)是衡量从外壳的中心,因此包括核心半径r_c美元。你也不要使用3美元。每个壳质量的表面面积乘以密度乘以壳厚度、表面积和没有的因素1/3美元。当然当你加入核心质量,计算体积,因此包括了1/3美元如果你调用的核心因素homogemeous球的半径r_c美元和密度\ rho_c美元。因此美元$ F = \ rho_cr_c ^ 3/3。

否则你的方法看起来是正确的。