波浪“感觉到”底部是什么意思?

Question

当水的深度小于波长的一半时，通常说波“感觉”到底部，那么波“感觉”是什么意思呢?

此外，为什么这种情况会发生在波长的一半的深度?

Answer 1

在水波物理学中，当我们说波浪“摸”到底部时，我们的意思是水深会影响波浪的性质。

水波的色散关系为:

$$ \ ω ^2 = gk \tanh{(kd)} $$

其中$\omega$是波频率，$k$是波数，$d$是平均水深，$g$是重力加速度。我们通过$kd$的值来区分“浅”和“深”水波，其中包括波数和水深:

• $kd < 0.3$时浅水波动;
• 中间水波时$0.3 < kd < 3$;
• 深水波浪时$kd > 3$。

因此，一个很长的膨胀波可以在10米深的地方充当浅水波，但一个很短的波浪也可以在1米深的地方充当深水波。

如何获得$kd$的这些限制?正切双曲函数对于其参数的极限值有一些方便的性质:

对于深水波，$kd$非常大，因此$\tanh{(kd)} \rightarrow 1$。则色散关系简化为:

^2 = gk $$

相速度和群速度分别为:

$ $ C_p = \ dfrac{\ω}{k} = \√6 {\ dfrac {g} {k}} $ $

$ $ C_g = \ dfrac{\部分\ω}{\部分k} = \ dfrac{1}{2} \√6 {\ dfrac {g} {k}} $ $

注意，$C_p$和$C_g$不是水深的函数，因此，深水波不会“感觉到”底部。

另一方面，对于浅水波，$kd$很小(约为0.3或更小)，$\tanh{(kd)} \rightarrow kd$。现在的色散关系是:

$$ \ ^2 = gk^2d $$

相速度和群速度是水深的函数:

$$ C_p = \dfrac{\omega}{k} = \sqrt{gd} $$

$ $ C_g = \ dfrac{\部分\ω}{\部分k} = \ sqrt {gd} $ $

那么，为什么说波浪在水深的一半波长处“感觉”到底部呢?

$ $ kd = k \ dfrac{\λ}{2}= k \ dfrac{2 \π}{2 k} =π\ $ $

而这个值大约是系统从深水过渡到中水的值，即$\tanh{(kd)} \约1$不再成立。

Answer 2

摸底是指波浪引起的速度场从水柱顶部一直延伸到水柱底部。当波“摸到底部”时，这意味着与底部边界有某种相互作用。在底部形成一个非常薄的边界层，由于速度场与床层粗糙度相互作用而产生涡量。涡度可以扩散到流体内部，并负责边界层内的湍流活动。由于波浪的持久性，它们的作用被认为在近岸颗粒物的再分配中起着重要作用，如营养物质、幼虫、沉积物甚至污染物。

1/2深度的值有些随意，但基于理论提供了一个很好的估计(参见IRO-bot的答案)。这张图很好地说明了这一点。

http://science.kennesaw.edu/~jdirnber/oceanography/LecuturesOceanogr/LecWaves/1006.jpg