如何表征多孔介质中非活性示踪剂的流动特征?

Question

关于示踪实验

该实验是通过将具有一定浓度的非活性物质的流体注入由沙子组成的柱或芯中进行的。流体的注入可以是脉冲形式，也可以是连续注入。这种类型的实验对于表征地下的静态和动态特性非常有用，可以帮助我们更好地了解流体的地质和流动动力学。

已知信息

在这类实验中，我们通常知道示踪剂通过色谱柱的速度五美元，列的长度L美元，示踪剂注入浓度C_0美元，柱出口流体浓度的时间序列美元加元{和}$ $ \文本元新台币，作为本次实验的输出数据。

问题

1. 在实验室规模下，哪些方程通常用于描述多孔介质中非活性示踪剂的流动特征?
2. 我们如何使用已知信息来估计流体分散系数(流体速度方差的测量)?

Answer 1

控制方程

非反应性示踪剂试验的构成方程由平流引起的流体流动(粘性流动)和扩散引起的流体流动决定。控制这一过程的偏微分方程为:$$\frac{\partial C}{\partial t} + \nabla。\left(v C - D\nabla{C} \right)=0$$在那里,美元加元示踪剂的浓度在空间中吗(x, y, z)美元和时间元新台币；五美元注入的示踪液的速度和$ D $是离散系数。

维的例子

让我们考虑以下一维核，其中示踪剂注入左侧面(点B)作为重侧单位阶跃函数。在右侧面(A点)观察输出示踪剂浓度分布:

一般情况下的边界条件如下:

$$\overline C_B=0, x>0, t=0$$$$\overline C_B=1, x=0, t>=0$$$$\overline C_B=0, x\rightarrow\infty, t>=0$$

现在，对于这个一维例子有一个解析解可以给出示踪剂在柱内任何位置的浓度x美元，在任何时候，说元新台币．也就是说，我们可以估计C (x, t)美元使用以下解析解:$ $ \眉题C_B = \压裂{1}{2}\离开[1 -{小块土地}\离开(\压裂{x-vt}{2 \√{Dt}} \) \右]$ $

在那里,五美元流体速度是已知的$ D $是未知的流体分散系数。

如何估计离散系数

我们从示踪剂实验中获得的数据之一是示踪剂在柱输出处(A点)随时间的浓度，也称为出水浓度。我们称这个数据为美元C_{测量}$．

类似地，使用上述分析函数，我们可以估计出示踪剂的出水浓度(在$ x = L $)通过猜测离散系数的某个值$ D $．然而，由于这个$ D $只是一种猜测，所以用公式估算出的出水浓度是不正确的。正确的流出浓度是我们测量过的，即。美元C_{测量}$．现在你可能已经猜到了，我们用分析表达式中测量的浓度来估计$ D $，适当的方法是设计一个目标函数，并将其平方最小化，如下所示:

$ $ f {obj} =敏\离开[\总和(C_{测量}-C_{计算})^ 2 \]$ $

你会发现计算$ C_ {} $使用多次猜测$ D $然后停止这个特定的迭代$ D $得到最小值f {obj} $ $