地球的质量是如何确定的?

Question

根据教科书上的知识，地球的质量大约是$6 × 10^{24}\，\mathrm{kg}$．如果不能用普通的天平称地球的重量，这个数字是如何确定的呢?

Answer 1

根据牛顿万有引力定律引力的:基于两个质量相互作用的吸引力(引力)的:

$ $ F = \压裂{GmM} {r ^ 2} $ $

地点:

• $ F $是引力
• G = 6.67美元\ * 10 ^ {-11}\ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm{公斤}^ {1}\ \ mathrm{年代}^ {2}$是比例常数吗
• M美元而且m美元这两个物体在施加力吗
• r美元是两个质心之间的距离。

从牛顿第二运动定律：

$ $ F = ma $ $

地点:

• $ F $力是否作用在物体上
• m美元物体的质量是多少
• 一个美元它的加速度是由这个力引起的。

使两个方程相等：

$$F = \frac{GmM}{r^2} = ma$$

$ $ \压裂{通用}{r ^ 2} = $ $(m美元抵消了。)

现在求解M美元即地球的质量。

$$M = \frac{ar^2}{G}$$

在哪里$a = 9.8\ \mathrm{m}\ \mathrm{s}^{-2}$，$r = 6.4 \ * 10^6\ \mathrm{m}$,G = 6.67美元\ * 10 ^ {-11}\ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm{公斤}^ {1}\ \ mathrm{年代}^ {2}$．

$ $ M = 9.8 \倍(6.4 \ * 10 ^ 6)^ 2 / (6.67 \ * 10 ^ {-11})\ \ mathrm{公斤}$ $

---

因此,

$M = 6.0 \乘以10^{24}\ \mathrm{kg}$

Answer 2

注意:我更新了这个答案，以包括对历史技术的描述。

历史上的技术

牛顿提出万有引力理论主要是为了解释构成太阳系的天体的运动。他还意识到，虽然引力使地球绕太阳运行，月球绕地球运行，但它也是苹果从树上掉下来的原因。万物相互吸引，引力作用。这表明理论上可以测量一对小球体之间的引力。牛顿自己也意识到了这一点，但他认为这并不实用。当然不是两个小球体(牛顿1846):

一个直径一英尺，性质与地球相似的球体，会吸引一个放在它表面附近的小物体，其力比放在它表面附近的地球所能吸引的力小2000万倍;但这么小的力量不会产生明显的效果。如果两个这样的球体相距只有0.1英寸，即使在没有阻力的空间里，它们也不会在不到一个月的时间里，由于相互吸引的力量而走到一起;更少的球体会以更慢的速度聚集在一起，即它们直径的比例。

也许是一座山?

不，整座山都不足以产生任何明显的效果。一座半球形的山，三英里高，六英里宽，不会因为它的吸引力，使钟摆偏离真正的垂直方向两分钟，只有在行星的巨大天体中，这些力才能被感知。

牛顿关于这种微小测量的不切实际的想法将被证明是不正确的。牛顿不知道，他自己推动的科学革命很快就使这种微小的测量成为可能。

用山脉来衡量地球的重量

第一次尝试“称地球的重量”是由皮埃尔·布格、查尔斯·玛丽·德拉孔达明和路易斯·戈丁在法国测地线任务期间进行的。他们的主要任务是确定地球的形状。地球是否如牛顿所预测的那样有赤道隆起?(法国人曾派出另一支队伍前往拉普兰完成同样的任务。)布格利用这次旅行作为一个机会来检验牛顿的建议，即山脉会使铅垂线偏离测量的正常水平。他选择钦博拉索山作为主题。不幸的是，测量结果完全错误。铅垂线偏转了，但方向不对。布格测量了山的轻微偏转(比森，网页)。

接下来的尝试是斯希哈林实验。在测量梅森-迪克森线时，查尔斯·梅森和耶利米·迪克森发现，他们的校准有时无法相互一致。原因是它们的垂线起伏偶尔会偏离测量正常值。这一发现导致了内维尔·马斯基林(Nevil Maskelyne)进行的斯希哈林实验。与布格不同的是，马斯基林确实得到了一个积极的结果，11.6角秒的偏转，而且方向是正确的。观测到的偏转使马斯基林得出结论，地球的平均密度是水的4.713倍(von Zittel 1914)。

事实证明，牛顿利用山的想法从根本上是有缺陷的。其他人试图在其他山脉上重复这些实验。许多人测量到负偏转，布格也是如此。这是有原因的。出于同样的原因，我们只能看到冰山的一小部分(大部分都在水下)，我们也只能看到山的一小部分。这座山的大部分都在地球内部。一座巨大的孤立的山应该使铅垂线偏离山。

用小质量称量地球

因此，如果使用山脉是可疑的，那么使用小质量的物体，即使相隔仅几英寸，也需要几个月才能接近彼此，这又说明了什么可疑之处呢?

这是一个非常好的主意。这些小质量是可控的，它们的质量可以测量到很高的精度。没有必要等到它们碰撞。简单地测量它们相互作用的力。

这个想法是卡文迪什实验(Cavendish 1798)的基础。卡文迪许用了两个小的和两个大的铅球。两个小圆球挂在水平木臂的两端。木臂依次由一根铁丝吊着。两个大球体被安装在一个单独的装置上，他可以转动这个装置使一个大球非常接近一个小球体。这种紧密的分离导致了小球体和大球体之间的引力，这反过来又导致支撑木臂的金属丝扭曲。电线中的扭转作用抵消了重力。最终，系统稳定到平衡状态。他通过观察手臂与未扭曲状态的角度偏差来测量扭转。他用一套不同的测量方法来校准这种扭转。 Finally, by weighing those lead spheres Cavendish was able to calculate the mean density of the Earth.

请注意，卡文迪许并没有测量万有引力常数g，在卡文迪许的论文中没有提到万有引力常数。卡文迪许测量G的概念有点历史修正主义。牛顿万有引力定律的现代符号$F=\frac {GMm}{r^2}$，在卡文迪什的时代根本不存在。直到卡文迪许实验后的75年，牛顿的万有引力定律才被重新表述为引力常数g。牛顿和卡文迪许时代的科学家们用比例常数而不是比例常数来写作。

卡文迪许实验的目的就是给地球“称重”，他也确实这么做了。

现代技术

如果地球是球形的，如果没有其他的扰动效应，比如指向月球和太阳的引力加速度，如果牛顿的万有引力理论是正确的，那么一颗绕地球运行的小卫星的周期由开普勒第三定律给出:$\left(\frac T {2\pi} \right)^2 = \frac {a^3}{GM_E}$。其中$T$为卫星周期，$a$为卫星半长轴(轨道半径)，$G$为万有引力常数，$M_E$为地球质量。

由此，如果周期$T$和轨道半径$a$已知，则很容易求出$G M_E$: $G M_E = \left(\frac {2\pi} T \right)^2 a^3$。要计算地球的质量，只需要除以$G$。不过，这里有一个问题。如果乘积是$G M_E$是已知的高度精度(它是)，除以$G$将失去很多精度，因为引力常数$G$只知道小数点后四位的精度。缺乏对G的认识本质上困扰着对地球质量的任何精确测量。

我对这个计算提出了很多警告:

• 地球不是球形的。地球最好是一个扁球体。赤道凸起会扰乱卫星的轨道(就像扁圆形模型的偏差一样)。
• 地球在宇宙中并不孤单。来自月球和太阳(以及其他行星)的引力扰乱了卫星的轨道。来自太阳和地球的辐射也是如此。
• 牛顿的万有引力理论只是大致正确。爱因斯坦的广义相对论提供了一个更好的模型。在经过很长一段时间的精确测量后，牛顿和爱因斯坦理论之间的偏差是可以观察到的。

这些扰动需要考虑在内，但基本思想仍然成立:人们可以通过长时间精确观测卫星来“称量地球”。所需要的是一颗特别适合这一目的的卫星。下面就是:

这是LAGEOS-1, 1976年发射。1992年，一颗同卵双星LAGEOS-2被部署。这些都是极简单的卫星。他们没有传感器，没有效应器，没有通讯设备，没有电子设备。它们完全是被动卫星。它们只是直径60厘米的实心黄铜球，上面覆盖着反光器。

取而代之的是，地面上的人将激光对准卫星，而不是让卫星进行测量。卫星上覆盖着后向反射器，这意味着一些击中卫星的激光将被反射回源头。精确计时发射和接收反射光之间的延迟可以精确测量到卫星的距离。精确地测量发射信号和返回信号之间的频率变化，就能精确地测量距离的变化率。

随着时间的推移，通过积累这些测量数据，科学家们可以非常精确地确定这些卫星的轨道，并由此“测量地球的重量”。目前估计的产品$G M_E$是$G M_E=398600.4418 \pm 0.0009 \ \text{km}^3/\text{s}^2$。(尼玛2000)。这个微小的误差意味着它精确到小数点后8.6位。几乎所有地球质量的误差都来自于G的不确定性。

参考文献

M.比森，“布格未能称量地球”(网页)

H.卡文迪许，《测定地球密度的实验》菲尔。反式。r . Soc。伦敦,88 (1798) 469-526

牛顿(译:莫特)，《原理:世界体系》(1846年)

NIMA技术报告TR8350.2，“国防部世界大地测量系统1984，其定义和与当地大地测量系统的关系”，2000年1月第三版

k·冯·齐特尔(M. Ogilvie-Gordon译)，《十九世纪末的地质学和帕尔本体论史》(1914)

Answer 3

地球的质量可以由所谓的卡文迪许实验．亨利·卡文迪许(Henry Cavendish)使用一种仪器来确定万有引力常数G，它出现在万有引力的完整方程中:

$$ F = {Gm_1m_2\ / R^2} $$

在哪里$ 1 $而且m_2美元是两个物体的质量，R美元物体重心与物体重心之间的距离G美元引力常数(约$6.674 \乘以10^{-11}\mathrm{N~m^2~kg^{-2}}$）.

由于地球的直径是已知的，引力常数也是已知的，确定一个已知质量的物体上的引力，我们就可以得到施加该力的物体(即地球)的质量。

Answer 4

卡文迪什可能使用了更直接的方法，但内维尔·马斯基林在更早的时候做过Schiehallion实验——出版于1778年。这是一个启蒙运动时期的故事，涉及到库克远征观察金星凌日留下的钱;Mason & Dixon;甚至本杰明·富兰克林也参与了早期的规划。

斯希哈林山位于苏格兰，是一座对称且相对孤立的山。通过测量形状(并在此过程中发明等高线!)，可以计算出体积。通过岩石取样，你可以计算出山的质量。通过钟摆偏转，你可以计算出地球质量与斯希哈林山质量之比。

使用现代数字地形模型和地质模型，马斯林的摆测量结果与当前公认的G值(或M -它们是同一枚硬币的两面)一致。

顺便说一句，我大约18个月前爬过这座山。如果天气晴朗，你会看到一些绝妙的景色，因为附近没有山(这也会影响测量)。

Answer 5

最简单的方法是使用卫星上的重力仪，并求解牛顿几个世纪前提出的著名的平方反比定律方程。

另一种方法，可能是一个有价值的练习(我必须在固体地球物理课上做)是假设地球有4层(地壳，地幔，外核，内核)。利用地震数据不仅可以得到每一层的深度(通过S/P反射)，还可以通过地震速度得到每一层的密度。你可以假设每个“壳”的密度都是均匀的，然后用地球的周长(也就是直径)来计算质量。

如果你知道两个物体(地球和月球/地球和太阳)之间的距离，你也可以使用行星运动的开普勒/牛顿定律来解决它。

也就是说，牛顿万有引力定律在很多方面给了我们一个很好的地球质量近似值。